指数、对数函数的应用

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数学基础模块 上册

4.3 指数、对数函数的应用

【教学目标】

1. 能够运用指数函数、对数函数知识解决某些简单的实际应用问题．

2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了指数函数、对数函数知识的应用价值．

3. 通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想，提高学生学习数学的兴趣． 【教学重点】

通过指数、对数函数的应用，培养学生分析、解决问题的能力和运用数学的意识． 【教学难点】

根据实际问题建立相应的指数函数和对数函数模型． 【教学方法】

这节课主要采用问题解决法和分组合作的教学方法．在教学过程中，从学生身边的实例开始，引起学生的兴趣，体会所学知识的应用和重要性，提高学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力．通过本节内容让学生体会指数函数与对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是今后进一步学习的基础．教师应当结合学生的专业特点，增设有关例题，突出数学为专业课服务的教学理念．

【教学过程】 环节

导 入

教学内容

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题． 一、人口统计问题

例1 2008年我国人口总数是13.28亿，如果人口的自然年增长率控制在5‰，问哪一年我国人口总数将超过15亿？

解 设 x 年后人口总数为15亿，由题意，得

13.28×(1＋0.005)x＝15．



教师提出本节要解决的问题．

引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题．

体会用数学方法将其化为函数问题(或其它数学问题)并加以解决的策略．

让学生在运算中体会指数函数与对数函数的应用．

对解答过程进行总结，以使学生掌握

师生互动

设计意图

新 课



引导学生阅读题目，找出关键语言，关键数据，在教师的引导下，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题．

教师帮助学生理解题意，分析题目，首先让学生搞清自然年增长率的含义，问题可以转化为“已知年增长率为5‰，利用15

即 (1＋0.005)x＝ ．

13.28指数函数求经过几年我国人口

两边取对数，得 总数将超过14亿？”

x lg 1.005＝lg 15－lg 13.28，

lg 15－lg 13.28

所以 x＝≈24.4．

lg 1.005

所以25年后，即2033年我国人 口总数将达到15亿． 问题解决后由教师简单小结一下解答

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第四章 指数函数与对数函数

新 课

过程中的主要步骤：

(1) 阅读理解； (2) 建立目标函数；

(3) 按要求解决数学问题． 二、大气压问题

例2 设在离海平面 x m 处的大气压强是 y k Pa，y 与 x 的函数关系是 y＝C ekx，这里 C，k 都是常量．已知某地某天在海平面与1 000 m 高空的大气压强分是101 k Pa 及90 k Pa，求600 m 高空的大气压强，又求大气压强是96 k Pa 处的高度(结果都保留2位有效数字)．

解 已知 y＝C ek x 其中 C，k 是待定的常数．

由已知条件，当 x＝0时，y＝101； 当x＝1 000时，y＝90， 得方程组

0， ①101＝Cek·

 k1000

． ② 90＝Ce·





由①得 C＝101，代入②得

901000＝ek·≈0.891 1， 101

即 1 000 k＝ln 0.891 1；

1 000 k＝－0.115 3． 所以 k＝－1.153×10． 所以 y 与 x 的函数关系是

y＝101 e－

1.153×10

－4 －4

x

．

当 x＝600时，得 y＝101 e

－1.153×10

－4×600

≈94.25，

当 y＝96时，得

96＝101 e－

1.153×10

－4

x

．

－1.153×10－4x＝ln

96 101

－1.153×10－4x＝－0.051， 104

所以 x＝0.051×≈442.32．

1.153因此，在高600 m 处，大气压强为94.25 k Pa；在高442.32 m 处，大气压强为96 k Pa．

解决实际应用问题的三个步骤．

教师分析：这是物理方面 内容，首先要利用给出函数关系教材中的例2专式，根据已知条件确定参数C，业性太强，阅读难度k．本例题要求学生采用小组合较大，故将例题替换作模式解决． 为本例．要求学生解 答，教师巡视及时纠 正学生出现的问题．

学生在教师引导下，自己解 答，如有问题先在小组内解决， 小组内解决不了的问题，在全班 内解决． 让学生在解答过 程中，体会数学建模

学生体会自然对数的应用． 的一般步骤． 学生在解答过程

中体会现代计算技术 所带来的方便．

教师在学生解答完后，选择 有代表性的解答过程，利用实物 投影仪将所选解题过程进行投 影，教师进行点评．

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