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平面向量知识点梳理
1．向量的有关概念
名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律 (1)交换律：
求两个向量和的运
算
a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c
求a与b的相反向
减法
量－b的和的运算叫做a与b的差
(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
a－b＝a＋(－b) ＝a＋(b＋c)．
定义
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的
长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线
备注
平面向量是自由向量
记作0
a
非零向量a的单位向量为±
|a|
加法
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
2＋y2. λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x11
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→→
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 7．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 8．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
投影 几何意义
9.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. a·b
(4)cos θ＝.
|a||b|(5)|a·b|≤|a||b|.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/e967ca136e175f0e7cd184254b35eefdc8d315bd.html
2022-10-29
