相似三角形 定理

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相似三角形的判定方法



证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

方法一（预备定理）

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；

（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）

方法二

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似.

方法三

如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似

方法四

如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似(SSS)

方法五（定义）

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形





一定相似的三角形



1.两个全等的三角形一定相似。

（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1） 2.两个等腰直角三角形一定相似

（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）

3.两个等边三角形一定相似。





直角三角形相似判定定理



1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。




三角形相似的判定定理推论



推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质



1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内，外切圆直径比和周长比都和相似比相同，内，外切圆面积比是相似比的平方

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