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:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
例 2 设 cos a—
9, sin a3=2,其中 a n,n,氏 0,;,求迹(a+
知识要点:
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 C( a + 3 ): cos( a + 3 )= C( a — 3 ): cos( a — 3 )=
S( a — 3 ): sin( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=
T( a — 3 ): tan( a — 3 )= T( a + 3 ): tan( a + 3 )=
二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、
S2 : sin2 a =
变式2:已知0
n
4
3 n ncos(― 4 4
3
)
5,
3 n
sin(
4
5 ) ,求 sin( a + 3 )的值
13
C2 : cos2 a = — — ,
3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用 等。
如T( a± 3可变形为: tan aan 3=
tan a± tan 3= =4, tan 3 = 3, 则 tan( a + 3)=(
考点自测: ) 1、已知tan B7 c、Z D -I A
7
、
11 13 13 、
n 2、已知11 cos a—sin a= 4 3」 sin a+ 的值是
n + (
A.-253 B
品
C. — 4 4
B. 5 5 D・ 4 o 5 5
3、在厶ABC中,若
cosA 则cosC的值是( = 5, cosB = 13, 16 56
C.c塑或56
16
4A. 65
A 、若— cos2 0+ cos0= 0,贝U sin2 0+ sin B 65的值等于或65 (65
)
A . 0 B . ± 3 C. 0 或 3 0或土 3
5 、三角式2cos55cos5 二/
in5
值为( A 3
A. 2 B.
题型训练
题型
1给角求值
一般所给出的角都是非特殊角,利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 例 1 求
[2si sin 10 (1 、3tan10 )]? 2sin280 的值.
n50
变式1:化简求值: 2cos10 sin 20
cos20
题型2给值求值
三角函数的给值求值问题解决的关键在于把
所求角”用"已知角”表示.
( ) ( ) ,2( )(
),2 ( )( )
题型
3给值求角
已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:
(1)确定角所在的范围;(2)求角的某一个三角函数
值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 );(3)求出角。
1 1
例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a— 3 ="2> tan 3=— 7 求 2 a— 3 的值.
1
1
变式3:已知tan a =
, tan 3 = ,并且a , 3均为锐角,求a +2 3的值.
7 3
题型4辅助角公式的应用
asinx bcosx .. a2 b2sin x (其中 角所在的象限由
a, b的符号确定, 角的值由K
tan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
a
例4求函数f(x) 5sin xcosx 5s/3cos2x — V3( x R)的单调递增区间?
2
变式4( 1)如果f x sin x 2cos(x )是奇函数,则tan
(2)若方程si nx J3cosx c有实数解,则c的取值范围是 ____________________
题型5公式变形使用 二倍角公式的升幕降幕
tan tan tan
1 mta n tan
tan tan tan tan 1 m
tan( )
1
例 5 (1 )设 ABC 中,tan A tanB 3
三角形
(2)化简,1-sin8 , 2 2cos8
变式5已知A、B为锐角,且满足3tan Atan B , sin Acos A
¥,则此三角形是
一 1 3 13、(福建理 17)在厶 ABC 中,tanA , ta nB -.
4 5
(I)求角C的大小;
(n)若△ ABC最大边的边长为.17,求最小边的边长.
tan Ata nB tanA tanB 1,则cos(A
B)
专题自测
1
1、下列各式中,值为 的是 2
2 .2
tan 22.5° 1 cos30o
A、sin 15ocos15o
cos —12
sin — 12
1 tan 222.5o
2 、命题 P: tan( A B)
0 ,命题 Q: tan A tan B 0,则P是Q的
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件
既不充分也不必要条件 3
,tan 3已知 sin
0则
、
5 tan( 43 1 cos2 20
64si n220 、
sin2
20
2
5sin(x —)2si n(x —).3cos(— x)=
、
6cos(x 270)cos(180
x) sin (18° x)s in (x 27°)= 、
72 5 3.10 若sin
都为锐角,
、 ,sin
. 10
5 则
在厶ABC中,已知tan B是方程3x2 + 8x — 1 = 0的两个根,则tan C等于
tanA、 91
.3
、 sin 10o
sin80o
102 cos10 sin 20
、 sin 70
11(1 tan22 )(1 tan 23 )=
、
12tan10 tan 20
.3(tan10 tan 20 )=
、
1
13
14、(四川理 17)已知 cos , cos( )
7
14 ,且0< < < 2
, (1)求tan2的值. (2 )求•
15、(2008 •江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角
a ,
42 们的终边分别与单位圆相交于2 5
A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为 ——10
(1)求 tan( a + 3 )的值;
'5
(2)求a +2 3的值•
答案 :考点自测 :1-5BCADD 变式 1、 56
3 2、
65
3:
4
4 (1) — 2 (2) [—2,2]
5、 -
2
专题自
测:1、C 2、C 3、
7 4、32 5、0 6 、——7、
厂
3
8 、 2 9 、 4 10 、
3
:
2
4
3
—
8、3
11
、
2
12、1
13 、 1 C
4
n
2 BC 2 14、
1
47
2
3
15 (1)— 3 (2)
2
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