高中数学-公式-平面向量

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平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0)a=b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0)agb=0; （2）坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则agb=abcos=x1x2+y1y2;其几何意义是agb等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则agb=x1x2+y1y2;AB（2）若a=(x,y),则a2=aga=x2+y2,a



十、向量法

1

x1y2x2y1； 2

(x1x2)2(y1y2)2;



x2y2;

rrrrb，平面、的法向量分别是u、v，则： 1、设直线m、l的方向向量分别是a、

rrrr

（1）线线平行：l∥ma∥bakb

rrrr

u0 （2）线面平行：l∥auag

rrrr

（3）面面平行：//u//vukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

rrrrb，平面、的法向量分别是u、v，则： 2、设直线m、l的方向向量分别是a、

rrrr

b0 （1）线线垂直：lmabag

rrrr

（2）线面垂直：la∥uaku

rrrr

v0 （3）面面垂直：uvugrrrrb，平面、的法向量分别是u、v，则： 3、设直线m、l的方向向量分别是a、

rrab

（1）直线m、l所成的角(0)，cosrr

2ab

rrau

（2）直线l与平面所成的角(0)，sinrr

2au

rruv

（3）平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cosrr

uv



教学过程： 二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．



⑴加法交换律：a +b = b + a；

rr

⑵加法结合律：(a + b) + c =a+ (b + c)；

.


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

⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb；



⑶数乘结合律：λ(ua) =(λu)a ．

uuuuruuuuuruuuuuruuuuuuruuuur

4. 推广：⑴A1A2A2A3A3A4LAn1AnA1An； uuuuruuuuuruuuuuruuuuuuruuuurr⑵A1A2A2A3A3A4LAn1AnAnA10；

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．



向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向



量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：



共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.



理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的



实数。②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线



平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）.



⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与a同向，当<0时

与a反向的所有向量.



3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充

uuuruuur

要条件是存在实数t满足等式 OPOAta．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． 2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内． 5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线． ∵ 向量p与向量a、b共面

∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．

充分性：如图，∵ xa，yb分别与a、b共线， ∴ xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴ p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得uuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuur

MPxMAyMB，① 或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyMB．②

uuuuruuuuuruuuuruuuuur

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由OPOMxMAyMB得：uuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuur

OPOMx(OAOM)y(OBOM)， ∴OP(1xy)OMxOAyOB ③

uuuruuur

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞． 当＜a、b＞＝０时，a与b同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝



时，称a与b垂直，记a⊥b． 2

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

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