第5课时——余弦定理(2)(教师版)

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第5课时 余弦定理（2）

【学习导航】

知识网络

余弦定理

航运问题中的应用

判断三角形的形状



学习要求

1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；

2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；

3．初步利用定理判断三角形的形状。

【课堂互动】

自学评价

1．余弦定理：

(1)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，

c2a2b22abcosC.

(2) 变形：2cosAbc2a22bc

，

cosB

a2c2b22ac，

cosC

a2b2c22ab



2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

（１）已知三边，求三个角；

（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

【精典范例】

【例1】在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸B码头，设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东150

，

并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方听课随笔

向航行？速度是多少（角度精确到0.10

，速度精确到0.1km/h）？

【解】如图，船按AD方向开出，AC方向为水流方向，以AC为一边、AB为对角线

作平行四边形ABCD，其中

AB1.2(km),AC50.10.5(km)．

在ABC中，由余弦定理，得

BC21.220.5221.20.5cos(900150)所以 ADBC1.17(km)． 因此，船的航行速度为

1.170.111.7(km/h)．

在ABC中，由正弦定理，得

0

sinABC

ACsinBAC0.5sin75BC1.17

0.4128

所以 ABC24.40



所以

DANDABNABABC1509.40

答：渡船应按北偏西9.40

的方向，并以

11.7km/h的速度航行． 【例2】在ABC中，已知

sinA2sinBcosC，试判断该三角形的形

状．

【解】由正弦定理及余弦定理，得

sinAaa2sinBb,cosCb2c2

2ab

， 2所以 a22

b2ab2ab

，c

整理得

b2c2

因为b0,c0，所以bc．因此，ABC为等腰三角形． 【例3】如图，AM是ABC中BC边上的中线，求证：

AM

1

2

2(AB2AC2)BC2． 【证明】

设AMB，则

AMC1800


．在ABM中，由余弦定理，得

且sinAsinB【解】由

AB2AM2BM22AMBMcos

．

3

，请判断三角形的形状。 听课随笔 4

a3b3c3

在ACM中，由余弦定理，得c2,

abc

2220

ACAMMC2AMMCcos(180)

因为

cos(1800)cos,BMMC

12

BC，

所以AB2

AC2

2AM2

1

2

BC2， 因

此

，

AM

1

2(AB22

AC2)BC2． 追踪训练一 1. 在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ Ｄ ）．

Ａ．

23 Ｂ．23 Ｃ．11

3 Ｄ．4 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．

略解：

cos0.5972

126.70



3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．

【选修延伸】

例4】在△ABC中，设

a3b3c3

【abc

c2，a3b3c3(ab)c2c3即

(ab)(a2abb2c2)0,而

ab0，得

a2abb2c20,c2a2b2ab,

cosCa2b2c21

2

,C6002ab

而由sinAsinB

3

4

得12[cos(AB)cos(AB)]34

12[cosCcos(AB)]3

4

,cos(AB)1而AB,AB0,AB， ∴三角形为等边三角形。

追踪训练二

1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则

abc

sinAsinBsinC

等于( B )

A．33 B．

239833 C．3 D．39

2

2．在△ＡＢＣ中，设CBa，ACb，且｜a｜＝２，｜b｜＝3，a·b＝－

3，求ＡＢ的长．



略解：AB2723

AB1.88

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