第5课时——余弦定理(2)(教师版)

2023-02-18 07:35:15   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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5课时 余弦定理(2

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知识网络

余弦定理

航运问题中的应用

判断三角形的形状



学习要求

1.能把一些简单的实际问题转化为数学题;

2.余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标;

3.初步利用定理判断三角形的形状。

【课堂互动】

自学评价

1.余弦定理:

(1)a2b2c22bccosAb2a2c22accosB

c2a2b22abcosC.

(2) 变形:2cosAbc2a22bc



cosB

a2c2b22ac

cosC

a2b2c22ab



2.利用余弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题:

(1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

【精典范例】

1在长江某渡口处,江水以5km/h速度向东流,一渡船在江南岸的A码头出发,预定要在0.1h后到达江北岸B码头,AN为正北方向,已知B码头在A码头的北偏东150



并与A码头相距1.2km该渡船应按什么方听课随笔

向航行?速度是多少(角度精确到0.10

,速度精确到0.1km/h)?

】如图,船按AD方向开出,AC方向为水流方向,以AC为一边、AB为对角线

ABCD

AB1.2(km),AC50.10.5(km)

ABC中,由余弦定理,得

BC21.220.5221.20.5cos(900150)所以 ADBC1.17(km) 因此,船的航行速度为

1.170.111.7(km/h)

ABC

0

sinABC

ACsinBAC0.5sin75BC1.17

0.4128

所以 ABC24.40



所以

DANDABNABABC1509.40

答:渡船应按北偏西9.40

的方向,并以

11.7km/h的速度航行. 2】在ABC中,已知

sinA2sinBcosC,试判断该三角形的形

状.

】由正弦定理及余弦定理,得

sinAaa2sinBb,cosCb2c2

2ab

2 a22

b2ab2ab

c



b2c2

因为b0,c0所以bc因此,ABC为等腰三角形. 3如图,AMABCBC边上的中线,求证:

AM

1

2

2(AB2AC2)BC2 证明

AMB

AMC1800


.在ABM中,由余弦定理,得

sinAsinB】由

AB2AM2BM22AMBMcos



3

,请判断三角形的形状 听课随笔 4

a3b3c3

ACM中,由余弦定理,得c2,

abc

2220

ACAMMC2AMMCcos(180)

因为

cos(1800)cos,BMMC

12

BC

所以AB2

AC2

2AM2

1

2

BC2





AM

1

2(AB22

AC2)BC2 追踪训练一 1. 在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC

A.

23 B.23 C.11

3 D.4 2.如图,长7m的梯子BC靠在斜壁上,脚与壁基相距1.5m,梯顶在沿着壁向上6m的地方,求壁面和地面所成的角α(精确到0.1°)

略解:

cos0.5972

126.70



3. 在△ABC中,已知a=2,b=3,C=60°,试证明此三角形为锐角三角形.

选修延伸

4在△ABC中,

a3b3c3

abc

c2a3b3c3(ab)c2c3

(ab)(a2abb2c2)0,

ab0,得

a2abb2c20,c2a2b2ab,

cosCa2b2c21

2

,C6002ab

而由sinAsinB

3

4

12[cos(AB)cos(AB)]34

12[cosCcos(AB)]3

4

,cos(AB)1AB,AB0,AB ∴三角形为等边三角形。

追踪训练二

1ABC中,A60°b1其面积为3

abc

sinAsinBsinC

等于( B )

A33 B

239833 C3 D39

2

2.在△ABC中,设CBaACb且|a|=2,|b|=3a·b=-

3,求AB的长.



略解:AB2723

AB1.88


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