将军饮马

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将军饮马问题



唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，

黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后 . 再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．





1.如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少？


解：如图所作，C点为水泵站的位置。

2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为 多少? 解：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称，

连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段， ∵AB=AD, ∠DAB=60° ∵E为AB的中点 ∴DE⊥AB，

Rt △ABC中， ED=6sin60º=3

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