用微积分基本定理推导球体积公式

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推导球的体积公式

设球的半径R，在直角坐标系中画出y

2Rxx2的图像，图像为半径是R的半圆。



将半圆绕x轴旋转一周，得到的几何体为半径为R的球。 其体积应满足定积分V球



b

2R

0

ydx(2Rxx2)dx

0

2

2

2R

这里我们不妨设f(x)2Rxx

根据微积分基本定理Qaf(x)dxF(b)F(a)，F'(x)f(x) 可知积分的区间为[0,2R]。

因为F'(x)f(x)2Rxx，所以F(x)

2

x3

3

Rx2

（根据求导法则，若f'(x)x，则f(x)

2

131

x；同理f'(x)x可得f(x)x2） 32

所以



2R

0

f(x)dxF(2R)F(0)

4

R3 3

(2R)3

3

84

R(2R)2R34R3R3

33

因此，V球

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