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2017年全国初中数学联合竞赛试题
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．
第一试(A)
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
3b＋c
1．已知实数a，b，c满足2a＋13b＋3c＝90，3a＋9b＋c＝72，则＝( )
a＋2b
A．2 B．1 C．0 D．－1 2．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，有以下三个结论：
(1)以a，b，c为边长的三角形一定存在； (2)以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在；
(3)以|a－b|＋1，|b－c|＋1，|c－a|＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若正整数a，b，c满足a≤b≤c且abc＝2(a＋b＋c)，则称(a，b，c)为好数组．那么，好
数组的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设O是四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若∠BAD＋∠ACB＝180，且BC＝3，
DO
AD＝4，AC＝5，AB＝6，则OB＝( ) 10864A．9 B．7 C．5 D．3
5．设A是以BC为直径的圆上的一点，AD⊥BC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的
延长线上，满足∠BAF＝∠CAE．已知BC＝15，BF＝6，BD＝3，则AE＝( ) A．43 B．213 C．214 D．215
1111
6．对于正整数n，设an是最接近n的整数，则a＋a＋a＋…＋a＝( )
1
2
3
200
191192193194A．7 B．7 C．7 D．7 二、填空题(本题满分28分，每小题7分)
1．使得等式1＋1＋a＝a成立的实数a的值为______．
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3
AEBF
CD
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2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝72，AF⊥BC于点F，AF交BD于点E，若DE＝
2AB，则∠AED＝______．
3．设m，n是正整数，且m＞n．若9m与9n的末两位数字相同，则m－n的最小值为____． 4．若实数x，y满足x3＋y3＋3xy＝1，则x2＋y2的最小值为______．
第一试(B)
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y＝a3x2＋b3x＋
c3的图象与x轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定 2．题目与(A)卷第1题相同． 3．题目与(A)卷第3题相同．
4．已知正整数a，b，c满足a2－6b－3c＋9＝0，－6a＋b2＋c＝0，则a2＋b2＋c2＝( )
A．424． B．430． C．441． D．460．
5．设O是四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若∠BAD＋∠ACB＝180，且BC＝3，AD
DO
＝4，AC＝5，AB＝6，OB＝( )
46810A． B． C． D．
35796．题目与(A)卷第5题相同．
二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A)卷第1题相同．
2．设O是锐角三角形ABC的外心，D，E分别为线段BC，OA的中点，∠ACB＝7∠OED，
∠ABC＝5∠OED，则∠OED＝______． 3．题目与(A)卷第3题相同． 4．题目与(A)卷第4题相同．
第二试(A)
一、(本题满分20分)已知实数x，y满足x＋y＝3，
11155
＋＝，求x＋y的值． 22
x＋yx＋y2
二、(本题满分25分)如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝45，E是∠BAC的外角平分线与
△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EF⊥AB．已知AF＝1，BF＝5，求△ABC的面积．
E25分)求所有的正整数数对(a，b)，使得a3＝49×3b＋8． 三、(本题满分
AFC
B
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第二试(B)
1
一、(本题满分20分)已知实数a，b，c满足a≤b≤c，a＋b＋c＝16，a2＋b2＋c2＋4abc＝，
求c的值．
二、(本题满分25分)求所有的正整数m，使得22m－1－2m＋1是完全平方数．
三、(本题满分25分)如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD＝∠OCB，OA⊥OD，OB⊥
OC．求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2．
D
A
O
B
C
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2022-03-21
