六年级下册数学试题-超难奥数题：约倍考功底(练习含解析)全国通用

2022-03-24 05:37:16 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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约倍考功底

【例 1】

[a, b]

已知：a＋b＝667，  120 ，求 a、b 的值。

（a,b）

【例 2】

a＋b＝60，(a，b)＋[a，b]＝84，求 a、b 的值。

【例 3】

任意选取 9 个连续的自然数，设它们的乘积为 P，最小公倍数为 Q。求 P 除以 Q 所得到的商最大可能值是多少？并试构造这样一组连续自然数。

【例 4】

两个不同自然数的和是 60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是 60，问这样的自然数共有多少组？

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测试题

【例 1】已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114，求这两个

自然数。

【例 2】 N 为自然数，且 N  1， N  2 、、 N  9 与 690 都有大于 1 的公约数。 N 的最

小值为。

答案：

【例 1】【分析】

方法一：设这两个自然数分别是 ma 、 mb ，其中 a 与 b 互质(不妨设a  b )，根据题意有：

（a  b） 54  mb  ma  m



mab  m  m（ab  1） 114 

所以可以得到 m 是 54 和 114 的公约数。 m  1，2，3 或 6 ，如果 m  1，由 m （a  b） 54 ，有 a  b  54 ；又由 m（ab  1） 114 ，有 ab  115 。 115  1115  5  23 ，但是1  115  116  54 ， 5  23  28  54 ，所以 m  1 。如果 m  2 ，由 m（a  b） 54 ，有 a  b  27 ；又由 m（ab  1） 114 ，有 ab  58 。 58  1 58  2  29 ，但是1  58  59  27 ， 2  29  31  27 ，所以 m  2 。如果 m  3 ，由 m（a  b） 54 ，有 a  b  18 ；又由 m（ab  1） 114 ，有 ab  39 。

39  1 39  3 13 ，但是1  39  40  18 ， 3  13  16  18 ，所以 m  3 。如果 m  6 ，由 m（a  b） 54 ，有 a  b  9 ；又由 m（ab  1） 114 ，有 ab  20 。

20 表示成两个互质数的乘积有两种形式： 20  1 20  4  5 ，虽然1  20  21  9 ，但是有 4  5  9 ，所以取 m  6 是合适的，并有 a  4 ， b  5 ，两数为：24，30。

方法二：另外像这类问题也可以这么考虑：两个数的最小公倍数和最大公约数的和或差也是

大公约的整数倍，所以我们可以把 114 分解成两个数的乘积： 114  1114  2  57  3  38  6 19 ，来确定大公约和小公倍。例如大公约如果是 2 那么

小公倍对应的就是（57  1） 2  116 ，然后再利用短除法，知道了大公约和小公倍，确定这两个数，且要满足条件两数的和是 54。

【例 2】【分析】

690  2  3  5  23 ，连续 9 个数中，最多有 5 个是 2 的倍数，也有可能有 4 个是 2 的倍数。如果有 5 个连续奇数，这 5 个连续奇数中最多有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，所以必然有一个数不是 2、3、5、23 的倍数，即与 690 没有大于 1 的公约数。所以 9 个数中只有 5 个偶数，剩下的 4 个数，有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，则 N  1、 N  3 、 N  5 、 N  7 、 N  9 是偶数，剩下的 4 个数中 N  2 、N  8 是 3 的倍数(5 个偶数当中只有 N  5 是 3 的倍数），还有 N  4 、 N  6 一个是 5 的倍数，一个是 23 的倍数。

N  5 是 2 和 3 的倍数，且相邻两个数中一个是 23 的倍数，另一个是 5 的倍数，显然 N  5  24 是最小解，所以 N 的最小值为 5。

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