棱台和圆台、球的表面积和体积

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教学目的：

1.掌握棱台。圆台的体积，并灵活的应用。

2.了解球的表面积公式的推导过程，了解球的体积公式的推导过程，体会其基本思想方法； 3.会用球的体积公式V

4

R3解决有关问题，会用球的表面积公式S4R2解决有关问3

题

教学重点和难点：

球的表面积公式、球的体积公式及其应用.棱台，圆台的体积的运算。 授课类型：新授课 1 球的表面积：

设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用

S1,S2,,Si,表示，则球的表面积:

SS1S2Si

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积Si可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R近似地等于小棱锥的高hi，因此，第i个小棱锥的体积Vi

1

hiSi，当“小锥体”的底面3

非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:

1

V(h1S1h2S2hiSi)，

3

又∵hiR，且SS1S2Si

1

RS， 3

14433

又∵VR，∴RSR，

333

∴可得V

∴S4R即为球的表面积公式

2



2．球的体积：

如图，把垂直于底面的半径OA作n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积

由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积圆柱的高就是“薄圆

片”的厚度

R

，底面就是“薄圆片”的下底面 n

由勾股定理可得，第i层（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是

R

riR2[(i1)]2，i1,2,3,,n，

n

∴第i层“薄圆片”的体积是


RR3i12

Viri[1()]，i1,2,3,,n，

nnn

2

∴半球体积是

V半球V1V2Vn

122(n1)2{1[12][12][1]} 2nnnn1222(n1)2

[n] nn2

R3

R3



R3

n

[n

1(n1)n(2n1)

] 22nn

∴半球的体积V半球

11

(1)(2)

nn] ① R3[1

6

1

趋向于0， n

容易看出，当n不断变大时，①式越来越精确，若n变为无穷大时，

V半球

11(1)(2)

nn]R3112R3 R3[1633

4

R3． 3

由此，可由①式推出球的体积公式V

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