常见数列公式及运算

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常见数列公式及运算

Sn11、数列的前n项和S的关系，a1

n与ann

SnSn1

n2



2、等差数列（1）通项公式：ana1(n1)d anam(nm)d

（2）性质： m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N ) （3）前n项和公式（1）Sn(a1an)n(n

2 （2）Sn1)d

nna12

3、等比数列（1）通项公式: a1nmna1qn，anamq(a1q0)

（2）性质：若m+n=p+q，amanapaq

na(q1)（3）前n项和公式：S1

n

na1(1q)a1anq

1q

1q(q1)

一、求通项：（1）已知数列an满足a1

12，a1n1ann2n，求an。 （2）已知数列a2n

n满足a13，an1n1an，求an。

（3）已知a3n1

13，an13n2

an (n1)，求an。

（4）已知数列an中，a11，an12an3，求an.

（5）已知数列an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式；二、求和：（1）错位相减法求和：Sn13x5x27x3(2n1)x

n1

x0解：当x1时，

S2

n1357(2n1)n 当x1时， xS2

3

4

n

n1x3x5x7x(2n1)x ②

①－②得 (1x)Sn12x2x2

2x3

2x4

2x

n1

(2n1)xn

再利用等比数列的求和公式得：(1x)S1xn1

n12x

1x

(2n1)xn (2n1)xn1 ∴ S(2n1)xn(1x)

n(1x)2

n2x1 ∴ Sn1

n(2n1)x

(2n1)xn(1x)

(1x)2x1



1

①




2462nn2,2,3,,n,前n项的和. 答案：Sn4n1 22222

111

（2）分组法求和：求和 11,4,27,,n13n2，…

aaa111

解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa

111

Sn(12n1)(1473n2)

aaa

(3n1)n(3n1)n

当a＝1时，Snn＝

2211n

(3n1)naa1n(3n1)na当a1时，Sn＝ 1a1221a

练：求数列

（3）裂项法求和：公式 ①

1111111

②

n(nk)knn1n(n1)nn1

1111



2n1(2n1)22n12n1

③

例：在数列{an}中，an

解： ∵ an

212n

，又bn，求数列{bn}的前n项的和. 

anan1n1n1n1

12nn211

 ∴ bn8()

nn1n1n1n12nn122

∴ 数列{bn}的前n项和

1111223318n

＝8(1 ) ＝

n1n1

求数列

Sn8[(1)()()(

1

411)] nn1

112

,

1231

,,

1nn1

,的前n项和.

解：设an

nn11



n1n

1nn1

则 Sn

123

12



＝(21)(32)(n1n)

＝n11.

2

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