对数及其性质

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五年制师范学校统编教材《数学》

3.6.1对数及其性质

教学目的：1.使学生理解对数的概念

2.会根据对数的概念求对数的值 3.会将指数式写成对数式 4.掌握对数恒等式及其应用 5.培养学生的计算能力 教学重点：理解对数的概念 教学难点：指数化对数

一、过程：引入：从指数导入，见P80例题

假设1995年我国的国民生产总值为 a亿元，如每年平均增长8%，那么经

过多少年国民生产总值是1995年的2倍？

设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍

则有 a18%x

2a



1.08

x

2



a

b

这是已知底数和幂的值，求指数的问题.即指数式

的问题.（这里 a0且a1）

二、课题：对数

定义：一般地，如果 aa0,a1的b次幂等于N, 就是

底 N的对数，记作

a

b

N

中，已知a 和N求b

a

b

N

，那么数 b叫做 a为

logaNb

，a叫做对数的底数，N叫做真数.

N



logaNb



1．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2．对任意 a0且

同样易知： 3．如果把

a

b

a1, 都有

a

0

1

∴loga10

logaa1

N

中的 b写成

logaN

, 则有

a

logN

a

N

（对数恒等式）

三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数.

例如：

4

2

16



log4162



10

2

100

log101002



1

4

2

2



log42

12



10

2

0.01



log100.012



四、介绍两种特殊的对数：

1．常用对数：以10作底

log10N

写成

lgN



2．自然对数：以 e作底 e为无理数，e = 2.71828„„





logeN

写成

lnN



1


五年制师范学校统编教材《数学》

五、对数的性质：

（1） 负数和零没有对数 （2） 1的对数永远是零 （3） 底数的对数是1

（4） 如果 a > 0 , a  1 , M > 0 , N > 0

loga(MN)logaMlogaN

M

有：logalogaMlogaN

Nn

logaMnlogaM(nR)

MNa

pq

12 3

证明：1、 3 （略）证明：2 设logaM = p, logan = q , 则= M , a q = N )

∴ log

M

a

( ∴ a p

N

pq

即 ：log

M

a

N

log

a

MlogN



1语言表达：“积的对数 = 对数的和”„„（简易表达——记忆用） 2注意有时必须逆向运算：如 log105log102log10101 3注意定义域： log2(3)(5)log2(3)log2(5) 是不成立的

2

(10)2log(10)是不成立的 log1010

4当心记忆错误：loga(MN)logaMlogaN

loga(MN)logaMlogaN 六、例题：

七、换底公式：logaN

loglog

mm

Na

( a > 0 , a  1 )

证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以 m 为底的对数：log 从而得：x

loglog

mm

m

a

x

log

m

Nxlog

m

alog

m

N



Na

∴ logaN

loglog

mm

Na



两个较为常用的推论：

1 logablogba1 2 log

a

m

b

n



nm

log

a

b（ a, b > 0且均不为1）

八、小结：运算法则，注意正反两方面用，换底公式及其推论

2

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