泊松过程与泊松分布的基本知识

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泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程是随机过程的一个经典模型， 是一种累积随机事件的发 生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。 那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀 有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。 而 泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。

比较：泊松分布

χk

P(X = K)= — e

泊松过程的主要公式：

P{Λ(t + s)-Λ∕(s) = n} =

r

§

其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查 看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定 了时间。

泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列 Tn,即每两次发生的 时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指 数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这 也是随机过程的推广。

泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程， 齐次的意思很简 单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面 的公式也看得出来。而非齐次则是变成了 ，这意味着什么呢？这以为 着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这


么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发 生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是 是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。

复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发 生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，

我们怎么描

，实际含义就

述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的， 但是每 个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在 [0,t]时间内行李总 重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方 差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程 的期望很容易求。

更新过程：

上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性， 那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新 过程的均值函数m(t)=E[N(t)],怎么理解呢，就是说需要用t时刻 的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理：

τn(t) = ΣJLιFn(t) ”

这个定理是可以证明的，Fn (t)是分布函数，就是说：在t时 刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。

那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间 隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，

就可以

求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：

对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到

Lm(S)=Lf(S)∕s(1-Lf(s)),

Lf(s),然后求

再对 Lm(S)进行逆变换，就得到了 m(t),

这就是更新函数。

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