九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 你会判定两个三角形相似吗素材 (新版)

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你会判定两个三角形相似吗

相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法类推，但比判定全等三角形更灵活，图形的变换也更复杂，为了帮助同学们更好地学好三角形相似的判定方法，现归纳如下.

三角形相似的判定方法一：两角对应相等的两个三角形相似.

说明：这种方法在运用时只需求出两个角对应相等，就可判定这两个三角形相似，推理时，关键是寻找对应角.一般地，在判定过程中要特别注意“公共角〞、“对顶角〞、“同角〔或等角〕、同角〔或等角〕的余角〔或补角〕〞都是相等的.

例1 以下各组图形可能不相似的是〔 〕 A.各有一个角是45°的等腰三角形 B.各有一个角是60°的等腰三角形 C.有一个锐角相等的两个直角三角形 D.各有一个角是95°的两个等腰三角形

分析：两个三角形是否相似，关键是看是否有两个角对应相等.A中的45°角可能为顶角，也可能为底角，故A中的两个等腰三角形可能不相似；B中是有一个角为60°的等腰三角形，那么该三角形为等边三角形，显然等边三角形都是相似三角形；C中有一个锐角相等，那么这样的直角三角形中的三个角就都相等，故C中的两个三角形相似；D中的95°只能为顶角，故这样的两个等腰三角形显然相似.

解：应选A.

点评：有两个角相等，那么这两个三角形相似，这是判定两个三角形相似最常用的方法.事实上，依据三角形的内角和是180°，第三个角也相等，故此判定条件是三个角对应相等，从而与相似三角形的定义衔接起来.

三角形相似的判定方法二：三边对应成比例的两个三角形相似. 说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SSS〞定理.

例2 △ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC是否与△DEF相似.

分析：因为两个三角形的三边长，所以可考虑根据三边间的关系来判定是否相似. 解：因为

12



25

，所以△ABC∽△DEF. 

210

点评：两个三角形的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边对应成比


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例.在相似三角形中，最短〔长〕边与最短〔长〕边是对应边；所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SAS〞，要特别注意“夹角〞的含义. 例3 如图1，△ABC的边AC上的一点，根据以下条件，可以得到△ABC∽△BDC的是〔 〕



A.AB·CD=BD·BC B.AC·CB=CA·CD C.BC=AC·DC D.BD=CD·DA

分析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，假设再知道成比例的两边的夹角相等，那么这两个三角形才相似.此题中，∠C是△ABC与△BDC的公共角，关键是找出角∠C的两边对应成比例，即

2

2

CDCB

. CBAC

点评：此判定中的角必须是成比例两边的夹角，否那么两个三角形不一定相似.如图2，易判定△ABC∽△A1B1C1，而在△ABC和△A2B2C2中，虽然有但是△ABC和△A2B2C2并不相似.

A

ACBC

，∠C=∠C2=90°，A2B2B2C2

8

A1 4

4 B2

A2

B 6 C

B1 3 C1 图2

3 C2



小结：判定三角形相似，通常按以下思路分析：〔1〕假设有一组角相等，可再找一组角相等或再找这组角的邻边对应成比例.〔2〕假设已有两组边对应成比例，可再找其夹角相等或第三组边对应成比例.但要注意找准对应关系.

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