不等式性质及公式

2023-04-12 03:08:23   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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不等式,公式,性质
高中数学不等式基本性质; 重要公式总结

1,若ab,ba

2,ab,bc,ac(不等式的传递性). 3,ab,,acbc(不等式的可加性). 4,ab.cd,acbd

5,ab,c0,acbc;ab,c0.acbc 6,ab0,cd0,acbd.

7,ab0,a^nb^n. nn*,n≥2

8,ab0,n次根an次根b. nn*,n≥2

222

abcabbcca

1

a

2

b

2

2ab,ab(

ab2

)

2



2

a

2

b2

2



ab2

ab

21a1b

(会证明)

(a,bR)



3a3b3c33abc(abc0即可) 4abc33abc

(a,b,cR)



abc(

abc

3

)

3





不等式的证明规律及证明方法

5|a||b||ab||a||b|(a,b,cR)

方法一:作差比较法: 已知:abc1,求证:a2b2c21

3

证:左-右=(3a3b3c1)

3

1

222

1的代换

1

12222222

[3a3b3c(abc)][(ab)(bc)(ca)]0 33

方法二:作上比较法,设abcR,且abc,求证:a2ab2bc2cabcbcacab 证:





aa

2a

b

2b

c

2c

bc

b

ca

c

ab

a

ab

a

ac

b

bc

b

ba

c

ca

c

cb

aabbbccca

()()() bca

a>b>0 0

aab

1,ab0()1 bba

a

aab

(0,1)ab0()1 bb

aabbbccca

1,同理可证,()1()1,…… 不论a>b还是a()bca

方法三:公式法:设a>0,b>0,且a+b=1,求证: ab 证①由公式: 证②由

A

2

44

18

2

(a

1a

)

2

(b

1b

)

2



252



A

2

B2

2



4

AB2

2



2

A

2

B2

2

(

AB2

2

)

得:

4

a

4

b2

(

ab2

2

)

2

[(

2

ab2

)]

2



116

ab

4



18



B2

2

(

AB2

)

2

AB

(AB)

2

2



]

22



12

[(aab2

1a)

2

)(b14

1b

)]1

2



12

[ab

abab

12

(1

1ab

) *

2

ab(

ab

4 (*)

12

(14)

252




方法四:放缩法: log

(n1)n

log

(n1)n

(n2)(n1)

(n1)

n>1 log 只要证: log < [(log

21

nn1

0

(n2)(n1)

n(n1)

log1即可

12log

2

log

2

(n2)n1

)][12log

2

n(n2)(n1)

]

2

< [(log

2

1

(n2n1)n1

][

2

(n1)(n1)

]1

2

方法五:分析法:设a1a2b1b2R,求证:(a1b1)(a2b2)

ab2

n

a1a2

n

b1b2(自证)

方法六:归纳猜想、数学归纳法:设a0,b0,求证:(

)

n

ab2

(自证)


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