2018年全国初中数学竞赛试题

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2018年全国初中数学竞赛试题

考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30

答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．

一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

1．方程组xy12y6

的实数解的个数为（）

x（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A）14 （B）16 （C）18 （D）20

3．已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax2

bxc0， bx2

cxa0，cx2

axb0恰有一个公共实数根，则a2bcb2cac2

ab

的值为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心 5．方程x3

6x2

5xy3

y2的整数解(x，y)的个数是（）

（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，点A，C都在函数y33

x

(x0)的图像上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．

7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．

8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =n·

90，则n ． 9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数yx2(a3)x3的图像与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是． 10．已知对于任意正整数n，都有a1a2ann3，则1a11

 ．

21a31a1001

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11．已知抛物线C1：yx23x4和抛物线C2：yx23x4相交于Ａ，Ｂ两点．点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．（1）求线段AB的长；

（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

１

12．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2

abx1

2

(ab)0是否有两个整数解？如果有，

请把它们求出来；如果没有，请给出证明．

13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

DECFAD

BC

．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）

ADBCPD

PC

；（2）△PAB∽△PDC．

14．（1）是否存在正整数m，n，使得m(m2)n(n1)？

（2）设k(k3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m(mk)n(n1)？

２