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一条特殊线段的性质及其应用
学习了平行四边形，矩形，菱形，正方形后，我们发现了这些四边形共有的一条特殊线段： 这条线段具有如下的特点：
（1）一个端点是四边形对角线的中点；
（2）另一个是线段平行于四边形的边，与另一边的交点； （3）结论是：这条线段的长等于它所平行边的一半． 下面就结合考题，谈谈这条线段的具体应用
１．应用在平行四边形中
例１ （2011年山东聊城）如图１，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是__________cm．
分析： 因为点Ｅ是ＡＢ的中点，Ｏ是ＡＣ的中点，所以ＯＥ就成了三角形ＡＢＤ的中位线，所以ＡＤ=２ＯＥ．
解：ＡＤ的长为６．
点评：当图形比较完备时，这条特殊的线段就是某个三角形的中位线．
２．应用在矩形中
例２（2012年资阳）如图２，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 ．
分析： 求两条线段的关系，常把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．
解： 如图２，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，因为ABCD为矩形，所以∠C=90°． 因为OF⊥BC，OE⊥CD，所以∠EOF=90°．所以∠EON+∠FON=90°．因为ON⊥OM， 所以∠EON=∠FOM，所以△OEN∽△OFM，所以因为OF⊥BC，
OEOF23
ONOM
=．
ＡＢ⊥BC，所以OF∥ＡＢ．因为ＡＢ=６，O为矩形ABCD的中心，
ONOM
所以ＯＦ=３，同理可证ＯＥ=２，所以＝，所以
yx
＝
23
即ｙ＝
23
ｘ．
点评： 通过作垂线，构造出特殊线段是解题的关键． ３．应用在菱形中
例３ （2012年长沙）如图３，已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（ ）
A．６ｃｍ Ｂ.４ｃｍ Ｃ. ３ｃｍ Ｄ.２ｃｍ
分析： 线段ＯＥ恰好符合特殊线段的条件，因此结论自然就是ＡＢ=２ＯＥ．
解： 因为四边形ABCD是菱形，所以ＡＢ=ＡＤ＝６ｃｍ ，根据特殊线段的性质
得：ＯＥ=３ｃｍ,所以选择Ｃ．
点评： 熟记菱形的性质成为解题的关键．
４．应用在正方形中
例４ （2012年铜仁）如图４，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ．
分析： 用含线段ＯＡ，ＯＢ的代数式表示线段ＡＢ是解题的关键．
解： 因为四边形CDEF是正方形，所以∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD， 因为AO⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°， 所以∠COA=∠DOB，在△COA和△DOB中
OCAODB
,所以△COA≌△DOB，所以OA=OB，因为∠AOB=90°，所以△AOB是等腰OCOD
AOCDOB
直角三角形，由勾股定理得：ＡＢ=OA
2
OB
2
=2ＯＡ.
要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，所以当OA⊥CD时，OA最小． 因为正方形CDEF，OA∥ＥＤ，所以ＯＡ=
12
ＤＥ=１，所以ＡＢ的最小值为2．
点评：线段最短原理――――垂线段最短是解题的重要依据．
本文来源：https://www.wddqxz.cn/dc669729dd36a32d737581e4.html
2023-02-21
