求函数有界无界的例题考研

2022-08-15 04:18:20 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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求函数有界无界的例题考研

解析：都是充分非必要条件。无穷大量（含正、负无穷大）因为函数值绝对值可以达到任意大，因此一定是无界的。但在(a,b)无界却不能保证在x0处趋于无穷，因为有可能是在(a,b)内的其它点附近无界的（比如趋于无穷），这样函数在x0处可能是有界的，甚至可能是存在有限极限的。不止如此，即便函数的无界是在x0附近发生的，也不能保证其在该点趋于无穷。因为函数可能发生振荡，而在振荡的过程中，会从远处回到平衡点附近（某有限范围内）。一个典型的例子是：f(x)=(1/x)*sin(1/x)，另定义f(0)=0，该函数在(-1,1)内有定义，但在x=0处函数连续振荡于正负无穷之间，频率无限增大，振幅无限增大，它是无界的，但在x=0处函数的极限却不是无穷（或正无穷）。

解析：（1）若limf(x)>limg(x)，则右端的结论是正确的，甚至能保证在充分小的邻域内f(x)>g(x)；但当limf(x)=limg(x)时，这个结论就未必成立了，比如f(x)=x，g(x)=1，当x趋于1时，满足limf(x)=limg(x)=1，但无论取1多小的邻域，都不能保证x>=1恒成立（左侧小于右侧大于）。

（2）结论应该改为>=就对了，因为极限有可能相等。比如f(x)=|x|，g(x)=0，当x趋于0时的情况。