高考物理解题方法谈:用能量法计算物体作简谐运动的周期

2022-04-26 06:10:04   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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用能量法计算物体作简谐运动的周期

当物体作简谐运动时,求振动周期的常用方法是利用动力学方法,即利用回复力F

-kx,由周期

振子为例进行分析:

1.基本规律

求得。但当系统受力较难分析时,可利用能量法求解。下面以弹簧

以水平方向弹簧振子为例,设振子的位移x随时间的变化规律为xAcoswt+),

在振动中的任何一时刻t时,振子具有动能EK,弹簧具有弹性势能EP。此两者的值分别为





由于kmw2,故上式又可写为



可见这一振动系统的动能和势能都随时间作周期性变化,但系统总的机械EEK+EP

保持不变。这一总机械能与振幅的平方成正比,与角频率的平方成正比。这

也是简谐运动的一般规律。

简谐运动能量的表达式还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及振子所受的力,因此在力不易求得时较为方便。若将势能EP写成位移x的函数,由前述势能的表达式可得到

w

或将总能量写成振幅的函数,则由前述总能量的表达式可以得到

w

2.用能量法求周期的规律应用

1】有一轻质刚性杆,长为L,可绕上端的水平轴自由转动,下端固定着质量为m的质点,构成单摆。如图1所示,质点通过一根劲度系数为k的水平弹簧拴到墙上,当摆竖直下垂时,弹簧处于松弛状态,求系统小幅度振动的周期。

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解析:设质点偏离平衡位置的最大位移为x杆偏离竖直方向的夹角为θ则系统总的机械能为



式中xLθ

1-cosθ

故得



比较上两式得系统的角频率为

故系统振动的周期为

2】如图2所示,摆球质量为m,凹形滑块质量为M,摆长为lmMM与水平面之间光滑,令摆线偏转很小角度后,从静止释放,求系统的振动周期。



解析:设未放凹形滑块的单摆以角频率w振动,偏角为θ,振幅Alθ。由系统振动能量守恒得

mgl1-cosθ

设带有凹形滑块的摆以同样的振幅以角频率为w′振动,则有

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mgl1-cosθ)=由上两式得



,而

故系统的振动周期为

通过以上两例可知采用能量法求周期的一般步骤: 1)确定振动系统,分析振动系统的机械能是否守恒; 2)找出平衡位置并将选定为坐标原点;

3)写出任意位置处的机械能表达式(或特殊位置);

4)将求得的结果与弹簧作简谐运动时能量关系作比较,求得系统振动周期。 3.巩固练习

1】如图3所示,质量为m的小球用轻杆悬挂,两侧用劲度系数为k的弹簧连接,杆自由下垂,弹簧无形变,图中已知,求摆杆作简谐运动的周期。



(答案:

2】一个单摆,由一根刚性轻杆和杆端质量为m的重物组成,做微小振幅的自由振动。如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物,使原单摆变成一个异形复摆,其振动周期最多改变百分之几?

(答案:9%

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