余数问题

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三、同余特性的具体应用 1、计算周期问题

例1：今天是星期一，再过再过以再过再过

天是星期几?再过

天是星期几?

，所

天是由同余的第四条性质决定的，余数的幂即幂的余数，即12010，最后还是天依然是星期二。

天，根据余数的幂决定幂的余数，因为2012除以7余3，所以

除以7的余数决

定于幂的余数，即，因为3的平方为9，9除以7余数为2，2的三次方为8，8除以7余1，换

句话说就是3的六次方除以7余1，所以我们只需要去寻找2011除以6的余数就可以了，2011除以6余1，所以

除以7的余数决定于

除以7的余数，即3。



例2：:310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？ 解析．310－23=273=3×7×13

大于37的两位约数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39和91。




例3：:有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最

小的一个是几？ 解：（1）这个自然数一定小于63，不然的话它除63的余数就是63了；（2）这个自然数一定比9大，

因为三个余数的平均数大于8；（3）根据同余的规律，这个自然数能被63＋90＋130－25的差258整除。所以只要找出258比9大，比63小的约数就可以了。 258=2×3×43。258比9大，比63小的约数只有43。 答：这个自然数是43。

例4：:有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。这个整数是多少？ 解析：根据同余，300－262=38，262－205=57，这个数是（57，38）=19。

例5：:某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？ 解析．（1186－1），（2609－2），（4263＋3）一定能被某数整除。 于是2607-1185=1422=2×3×3×79， 4266-2607=1659=3×7×79 这个数最大是3×79=237。

例6：:从1、2、3、……、49、50。这五十个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？

解析：在1到50各数中，除以7余1的数有8个；除以7余2的数有7个；除以7余3的数有7个；除以7余4的数有7个；除以7余5的数有7个；除以7余6的数有7个；除以7能整除的数也是7个。可以取出所有除以7余1的8个数，除以7余2的7个数，除以7余3的7个数，再取出一个除以7能整除的数，所以最多取出23个数。

例7：:n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？（答案是1）

1919个1919

1、23的1999次方+18的1999次方除以5的余数？（4） 2、求1999的1999次方除以3的余数？（1） 3、求2的2008次方除以3的余数？（1）

4、求2的2003次方除以7的余数？的余数？（4） 5、1999的2008次方除以7的余数？（4）

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