因式分解的方法与技巧

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因式分解的方法与技巧

朱元生



因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。 一、巧拆项

在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

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例1. 因式分解：ab4a2b3。

解析：根据多项式的特点，把3拆成41，则

a2b24a2b3a2b24a2b41 a24a4b22b1



a2b1

2

2

ab1ab3





32

例2. 因式分解：x6x11x6。

22

解析：根据多项式的特点，把6x拆成2x4x，把11x拆成8x3x，则

2

x36x211x6x32x24x28x3x6x2x24xx23x2x2x4x3x1x2x3。

2







也可以这样分解因式：

2

xx32x3x3x23x2x1x2x3。

x36x211x6x36x29x2x6xx26x92x3







二、巧添项 在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。

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例3. 因式分解：x4y。

222244

解析：根据多项式的特点，在x4y中添上4xy和4xy两项，则



x44y4x44x2y24y44x2y2x22y2

x22xy2y2x22xy2y2。













2

2xy

2



三、巧换元

在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。

例4. 因式分解：x3x4xx624。

解析：x3x4xx624x1x4x2x324 x1x2x3x424xx2xx1224。

2

2

2

2

2

2


22

设yxx2，则xx12y10。

222

原式yy1024y10y24y4y6xx24xx26



x2x6x2x8x2x3x2x8。



2

xy2xyxy2xy1 例5. 因式分解：。



解析：设xym，xyn，则

xy2xyxy2xy12m2nm2n12

xyxy1x11yx1y1。

2

2

2

2

m22mnn22m2n1 22

mn2mn1mn1



四、展开巧组合 若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。

例6. 因式分解：mnxyxymn。

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解。

2

mnx2xym2

nxmymxny。



22



22



mnx2y2xym2n2mnx2mny2xym2xyn2







mnyxynmxnxmynynxmy

2

2

2



例7. 因式分解：mxnynxmy

22222222

解析：mxnynxmymx2mnxynynx2mnxymy

2

2

m2x2n2y2m2y2n2y2x2m2n2y2m2n2 m2n2x2y2。













五、巧用主元 对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。

4322

例8. 因式分解：x3xxy2x2xy。

解析：将多项式以y为主元进行整理。

x43x3x2y2x22xyx22xyx43x32x2xx2yx2x2x1xx2x2xy









222222

例9. 因式分解：ababacacbcbc2abc。

解析：这是一个轮换对称多项式（即以a替换b，b替换c，c替换a后，多项式不变），不妨以a为主元进行整理。

a2bab2a2cac2b2cbc22abc


a2bcab22bcc2bcbca2bcabcbcbc

2



bca2abcbcbca2abacbc bcaabcababacbc。





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