奇偶函数图象的对称性-高中数学知识点讲解

2022-03-21 00:23:12 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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奇偶函数图象的对称性

1．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】

一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说函数 f（x）在区间 D 上是增函数；当 x1＞x2 时，都有 f（x1）＜f （x2），那么就说函数 f（x）在区间 D 上是减函数．

若函数 f（x）在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．

第二步：求函数 f（x）的导数 f′（x），并令 f′（x）＝0，求其根．

第三步：利用 f′（x）＝0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由 f′（x）在小开区间内的正、负值判断 f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为 f（x）max≤a 或 f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力． 2．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】

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奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是 f（x）＝m 时，f （﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于 y 轴对称，它的特点是当 f（x）＝n 时，f（﹣x）＝n．【解题方法点拨】

由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数 f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是 7 和 4，求函数 f（x）在区间[﹣ 3，﹣1]内的最值．

解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为 f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为 f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 【命题方向】

本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与 x 轴交点的个数，求在更大范围内它与 x 轴的交点个数，同学们务必多多留意．

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