费尔马大定理——怀尔斯的证明

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费尔马大定理——怀尔斯的证明

提要: 三个多世纪的著名数学难题,费尔马大定理,已被普林斯顿大学的怀尔斯证明, 并已获大奖. 震撼数学界的历史事件引起世界各界广泛热烈关注. 本文浅要地介绍整个事件的概况与传奇历史, 获奖情况与各家评论及影响意义, 怀尔斯的生平和特点, 历尽曲折的八年证明中的故事, 也在最后介绍有关的现代数学知识和怀尔斯的证明思路,并附较全的资料信息源. 历史大难题费尔马大定理的证明已被确认，论文已在1995年发表[1-2]. 给出证明的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew J. Wiles)1953年生于英国, 现为美国普林斯顿大学教授. 已获得沃尔夫奖和国家科学院奖.世界性的费尔马热向更深入的层次发展.许多地方纷纷举行有关的学术研讨班. 本文将介绍最终的证明情况和获奖评论等情况，并在最后适当解释一些数学. 有关历史及1985年前情况可见文[3-4]. 1. 概述

费尔马大定理又称费尔马最后定理(Fermat's Last Theorem),是著名法国数学家费尔马在约1637年写下的一个猜想：对于任意大于2的整数n , 不可能有非零的整数 a, b, c满足 . 这是他写在古希腊数学家丢番图的名著?算术?的页边上的.猜想提出后二百年间，只解决了n=3, 4, 5, 7这四种情形.在约1847年，库木尔(事实上)创立了代数数论,可以发展出对于许多n的证明.但经350多年无数人的努力,直到1993年终不能完全证明。

此次的转机始于1985-86年. 福雷(G. Frey)1985年断言, 谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想(即椭圆曲线都是模的)包含费尔马大定理. 1986年夏，瑞拜特(K.Ribet)用塞尔(Serre)的设想证明了福雷的断言.因此从1986年起,要想证明费尔马大定理就只要证明谷山丰-志村五郎猜想即可. 这里的数学关系其实可简述成这样(即反证法): 先假设费尔马大定理不正确, 即对某三个整数a, b, c成立,那么福雷建议考虑方程所表示的曲线E (这是一条半稳椭圆曲线). 瑞拜特证明了E不是模的; 只要能再证明E是模的, 就导致了矛盾.就说明原来的假设不对,即得费尔马大定理正确.

怀尔斯得知瑞拜特的结果后,立刻决心研究. 潜心七年. 终于在1993年6月23日上午10点半左右在英国剑桥大学牛顿研究所, 在连续三天的讲演的最后, 概述证明了谷山丰-志村五郎猜想的一大部分，从而证明了费尔马大定理. 这立刻震动了世界.一片节日欢庆. 但数月后，怀尔斯的证明逐渐被发现有问题. 怀尔斯在1993年12月4日发出电子信, 称证明的最后部分不完全, 但相信可修复. 一时间, 漏洞能否最终修复,世界注目,历史走到了一个关键时刻. 大多数专家相信漏洞不久可修复, 并且高度评价怀尔斯工作的正确部分. 但也有各种议论. 著名专家伐尔廷斯(G.Faltings)1994年3月在《科学美国人》期刊上说:"如果它是容易的, 他到现在就该已经解决过了.严格地说, 它被宣布的时候还不是一个证明."威耳(A.Weil)也在该期刊写到:"我相信他曾有过好的想法去尝试作出证明, 但是证明不在那里. 在某种程度上, 证明费尔马大定理象爬埃佛勒斯峰(即珠穆朗玛峰—作者注). 如果一个人想要爬上埃佛勒斯峰而在离它百码之近倒下了, 那他没有爬上埃佛勒斯峰."

怀尔斯的研究非常艰苦. 多种尝试, 包括他的学生泰勒(K.Taylor, 英国剑桥大学)1994年春起的协助, 均告失败. 1994年8月11日下午他在苏黎世"国际数学家大会"作大会最后报告时, 未有任何新进展, 会下笔者见他异常憔悴. 九

月“当泰勒仍然不相信欧拉系统法无可挽回的时候",怀尔斯决定再最后看一眼自己曾用过的环论老想法, 突然在94年9月19日的思维闪电中找到了迷失的钥匙.然后他将此论述告知泰勒, 二人核实细节. 怀尔斯最终完成了历史性长篇论文“模椭圆曲线和费尔马大定理"; 并将支持此文的最后工作细节与泰勒合写成短文“某些亥克代数的环论性质". 1994年10月6日, 他将新证明送给三位同事看, 包括伐尔廷斯. 二文受到谨慎的欢迎. 最后发表在《数学年刊》（普林斯顿大学协办）第141卷(1995年)，整整占满了全卷, 收稿日期分别标为1994年10月14日和7日(即文[1]和[2], 以下简称怀文和怀泰文). 怀尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，并连续获得沃尔夫奖（1996年3月）和[美国]国家科学院奖（1996年6月）.

怀尔斯最后发表的论文[1], 与作者原见到的他1994年10月的预印本（见文[3]中介绍）内容几乎完全相同，但引言部分已全然重写，详细地说明了他的研究历程，也简介了主要数学结果.从此引言中可以看出，怀尔斯本人确是当之无愧的费尔马大定理的唯一证明人.这澄清了前些时少数人的猜疑. 怀文共109页，五章. 在标题下首先引述了费尔马当年作出猜想的那段名言原文.接着是11页引言.

引言最后写道:“很高兴感谢剑桥会议后仔细阅读此文部分早期草稿的人，特别是慨次(N.Katz),他耐心地回答了我在欧拉系统工作过程中的许多问题，并与伊录西(Illusie)一起审读了该欧拉系统论证.他们的提问引导我发现了问题的所在.慨次也审听了我在1993年秋的首次改正尝试. 我也很感谢泰勒，为了他在深入地分析欧拉系统论证中的帮助. 我很感激戴邙德(F.Diamond)，为了他在准备此文最后定稿时的慷慨帮助. 除了他的许多珍贵建议外，其他一些人也作了很有帮助的评论和建议，特别是康莱德，得·沙利特, 伐尔廷斯，瑞拜特，茹宾，斯肯讷，和泰勒. 最后我极其感谢达尔蒙，为了他对于重新考虑我的老论证的鼓励.虽然我当时毫未注意他的劝告，但它当然留下了它的印迹.