完备性定理与海因定理

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4.完备性定理与海因定理。

limynA对任意子列ynkyn，有limynk=A，

n

xx0

limf（x）=A对定义域内任意xn，xnx0，xnx0，有limf（xn）=A

xx0

n



limxn=A0，N,当m，n>N 时，xm-xn

nxx0

limf(x)A0,0, 使对定义域内任意异于x0的x1，x2O（x0，），

有f（x1）（-fx2）

这些定理的作用：

1. 在不知数列或函数极限的条件下，判定极限的存在性；

2. 判定极限不存在，例如，欲证{yn}不存在，只要找两个收敛子列{ynk}，{y使limynklimy

k

k

'

''nk

'''nk

}，

,欲证limf（x）不存在，只要x0的去心邻域内找两个收敛子列

xx0

n

n

'

xn'x0，xn''x0（n）使limf(xn)limf(x''n)；

limf（xn）3. 揭示了数列极限与函数极限的关系，limf(x)A=A， f(x)单调xn

据此，求数列极限也可用罗必达法则，例如，求

limn（a-1）（a>0), 由于limx（a-1）=lim+

n

x

y0

1

n1x

ay-1y（用罗必达法则）=lim+aylna=lna，

y0

）=lna。 所以limn（a-1

n

1

n

5.求极限过程中的变量代换 —复合函数极限定理与函数的变形。

若lim(t)x0((t)x),limf(x)Alimf((t))limf(x)A,

tt0

xx0

tt1

xx0

x(t)

特别有lim与

f

交换定理，若lim(t)x0，f(x)在x0连续

tt0

x(t)

limf(x)f(x0)(f(lim(t)).同时因为limf(x)存在limf((t))

tt0

x

tt0

x

与f(x0)无关，若在x0的去心邻域内f(g)g(x)，xx0，则limf(x)=limg(x)，

xx0

xx0

利用这两点对函数变形，可使许多求极限问题化繁为简。

6. 单调有界定理和两个重要极限。若yn单调且上方有界limyn=SnPyn存

n0

n

在；zn单减且下方有界limyn=lnfyn存在；f(x)在x0的邻域内单调

n

n

判断yn的单调性常用三种方法，验证：yn+1yn0f(x00)与f(x00)存在，（0）或

yn+1

yn

1(1)或0

yn+1ynynyn1

x

0是否成立。利用两个重要极限limsinx1，

x0


n1x

lim(11n)e，(lim(1x)e),和（4）巧妙地结合，能简捷地求许多极限。 n

x

（五）应用微分理论求极限

1.用导数定义求极限，若f(x)存在，则lim

h0

'

f(xh)f(x)

h

lim

n

f(x1)f(x)n

1/n

f'(x)

'

设数列n,nx(n),则当f(x)在x点连续，或nxn，或xnn，

但n/(nn)有界时，lim 例5.lim

(n1)ana

n

a1

n

f(n)f(n)nn(11)a1a

n1/n

f'(x)

x1

n

(a0)lim

n

(xa)'

a.

3.用台劳公式和阶的估计法求极限。

用xx0时，f（x）=o(1)----表示limf(x)0；若f（x）=o（1），g（x）=o(1)，

xx0

用（fx）=o(g(x))----表示lim表示lim

f(x)

g(x)

xx0

f(x)g(x)

用（fx）g（x）（xx0）或（fx）=g(x)+o(g(x))----0；

xx0

1。利用无穷小量的运算性质，和根据劳台公式得出下列函数关系式

2

333213x

Sin=x-16xo(x)，Cos=2o(x)，tgx=x3xo(x)，

ex1xx2o(x2).ln(1x)xx2o(x2)，(1x)a1axa(a21)x2o(x2)，以及易证的命题，“若xx0时，f(x)

22

g(x)，且limf(x)h(x)A，则

xx0

xx0

。能使求函数极限的运算大大简化。特别是当函数是乘积形式时，各因limg(x)h(x)A”

子可用等价无穷小量代替。

x

=1 例6.1.limSin3x=lim3x 3；

x0

x0

（x+e）+2Sinx

=lim 2.limln

1+2x-Cosx

x0

x0

x

arctgx

ln1+2x+o（x）（x）2xOox）1+x+o（x)1（



4o(xx)

x

=lim

x0

2x+o（x）+2x+o（x）

x+o（x)

lim

x0

4x+o（x）

x=o（x)

lim1o(x)4

x0

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