分式方程的增根与无解

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如何正确理解分式方程的增根与无解



在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别

的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。

分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0.

分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中axb0，当a0时，一元一次方程有解（或根）；当a0，b0时，左边＝b，右边＝0，有左边右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。

综上所述，可简记为：“分式方程有增根分母＝0”；“分式方程无解

分式方程无解分母＝0

”. 

0整式方程无解未知数的系数＝

例1、 若关于x的方程

x3m

产生增根，求常数m的值. 

x11x

解：去分母，方程两边同乘以(x1)得

x3m

 分式方程有增根  x10 解得：x1

把x1代入x3m 有13m

 m2

小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x的值；三是把x的值代入整式方程，求出字母系数的值.




练习：1、若关于x的方程

2xmx1

有增根，求m的值. 2

x1xxx

（参考答案：m1或2）

a1x

有增根，求a的值.(参考答案：a1) 3

x22x1－kx1

3、若分式方程：2有增根，求k的值. （参考答案：k1） 

x22xax1

例2、若关于x的方程10无解，求a的值.

x12、若关于x的方程

解：去分母，方程两边同乘以(x1)得 ax1(x1)0

整理得：(a1)x20

 分式方程有无解  x10 或 a10

当x10时，有x1 (a1)120 得 a1 当a10时，有a1 由上可知：a1 或 1

小结：分式方程无解，要考虑两个方面：一是分式方程有增根导致无解；另一个是化简后的整式方程无解导致原分式方程无解.

练习：1、若关于x的方程

2ax3

无解，求a的值. 2

x2x4x2

（参考答案：a＝－4或1或6） 2、若关于x的分式方程1）

3、关于x的方程

xa3

1无解，求a的值. （参考答案：a－2或 x1x

3－2x2mx5

m－1或－）求m的值. （参考答案： 1无解，

3x33x

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