数学研究性学习报告

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研究性学习报告

——探索勾股定理

一、 什么是勾股定理。

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

如图：



图1 图 2

如图1，我国古代一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做

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“弦”。所以，我国古代把直角边与斜边关系所形成的定理，叫做勾股定理（a+b=c） 图（2）中的直角三角形ABC中，设 勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。按照勾股定理，三条边的关系为：

3＋4=5

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所以如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b，把斜边记为c，那么它们之间的关系式是：

a+b=c

即在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这就是我国最古老的数学书籍《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：



“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。

古希腊数学家毕达哥拉斯也证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定

理。

勾股定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

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二、勾股定理的验证。

1. 我国历代数学家关于勾股定理的论证。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：

将四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。



2.利用现在的方法也能证明勾股定理。 如图(3)：

延长CB到H,使CH=AB, 以C为顶点，CH为一边，作∠GCH=∠CAB,且使

CG=AC,以AC,CG为两边， 过G做GD∥AC, 过A做AD∥CG，再过D点作DE⊥AB于E, 过G做GF⊥DE与F

∵∠GCH=∠CAB，∠ABC=90 ∴∠CAB+∠ACB=90

∠GCH＋∠ACB=90 既：∠ACG=90

又∵GD∥AC，AD∥CG，且CG=AC ∴四边形ACGD为正方形.

∴AC=CG=GD=AD, ∠ACG=∠CGD=∠ADG= ∠CAD. ∵DE⊥AB，∠B=90, ∴DE∥CH,∴CH⊥GF于H ∴∠HGC+∠HCG=90 ∵∠ACB+∠HCG=90 ∴∠HGC=∠ACB.

∴可得：ΔABC≌ΔCHG

同理可证得：ΔABC≌ΔCHG≌ΔGFD≌ΔDEA ∴CH=GF=DE=AB, DF=AE=BC=GH ∴EF=FH=HB=EB

∴四边形EFHB为菱形 又∵GF⊥DE

∴四边形EFHB为正方形

设CH=GF=DE=AB=a, DF=AE=BC=GH=b, AC=CG=GD=AD=c ∴S正方形EFHB =(a－b)=S正方形ACGD－4•SΔACB =c－2ab 整理：a－2ab+b=c－2ab 222a+b=c

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既AB+BC=AC

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