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线性代数判断题及其答案(总10
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线性代数判断题
线性代数课程组
判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）
1、以数k乘行列式D，等于用数k乘行列式的某一行（或某一列）. （ ） 2、行列式
a11
0的充要条件是a≠2且a≠0. （ ）
1a1
163123
3、3阶行列式675的值等于行列式274的值. （ ）
358348
4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ）
a1
a2b2
c2
a3
a1
a2b23a2
c2
a3
b33a3成立. （ ） c3
5、行列式Db1
c16、行列式D
b3b13a1c3c1
a1b1a2b2
2
4
6
c1d1c2d2
a1a2
c1c2
b1b2
d1d2
成立. （ ）
123
7、行列式D4862243成立. （ ）
8104452
8、n阶行列式中元素aij的余子式Mij与代数余子式Aij的关系是AijMij. （ ）
9、主对角线右上方的元素全为0的n阶行列式称为上三角形行列式. （ ）
12
10、行列式D
3754247665824515
932274676558
成立. （ ） 92
11、设D是行列式，k是不为零的实数，则kD等于用k去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ）
12、如果行列式D有两行元素对应相等，则D0. （ ）
13、设D是n阶行列式，Aij是D中元素aij的代数余子式.如果将D按照第n列展开，则Da1nA1na2nA2nannAnn. （ ）
12
14、行列式D
4
24
13934
1145
是范德蒙行列式. （ ）
162544
54
2
15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （ ）
16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （ ）
17、由n个方程构成的n元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （ ）
11
1
18、行列式234中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （ ）
4916
a11
a12a22a32
a13
a11
5a112a125a212a225a312a32
a13
a236. a33
19、设行列式Da21
a31（ ） 20、设行列式
a233，则D1a21a33a31
a1
a2b1a1
，1b2a2
c1c2
2，则
a1a2
b1c1b2c2
3. （ ）
21、如果行列式D有两列元素对应成比例，则D0. （ ）
22、设D是n阶行列式，则D的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即a21A31a22A32a2nA3n0. （ ） 23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （ ） 24、任意一个矩阵都有主次对角线. （ ） 25、两个零矩阵必相等. （ ） 26、两个单位矩阵必相等. （ ）
a00100
27、3阶数量矩阵0a0a010. （ ）
00a001
28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC，则必有B=C. （ ） 29、若矩阵A满足AAT，则称A为对称矩阵. （ ）
30、若矩阵A，B满足AB=BA ，则对任意的正整数n，一定有（AB）n=AnBn.
（ ）
31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A与B，AB的行列式|AB|与BA的行列式|BA|也不相等. （ ） 32、设A为n阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n2. （ ） 33、设A,B都是三阶方阵，则ABAB. （ ）
34、同阶可逆矩阵A与B的乘积AB也可逆，且(AB)1A1B1. （ ） 35、若A，B都可逆，则A+B也可逆. （ ） 36、若AB不可逆，则A，B都不可逆. （ ） 37、若A满足A2+3A+E=0，则A可逆. （ ）
3
38、方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵. （ ） 39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （ ）
40、设A，B，C，E均为n阶矩阵，若ABC=E，可得BCA=E. （ ） 41、如果A2-6A=E，则A1= A-6E. ( )
313*242、设A=，则A=51. ( ) 52
43、设A是n阶方阵，且A1，则(5AT)15n1. （ ）
44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （ ）
45、由单位矩阵E经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. （ ） 46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （ ）
47、设A是3阶矩阵，交换矩阵A的1，2两行相当于在矩阵A的左侧乘以一个
010
3阶的初等矩阵E12100. （ ）
001
48、对n阶矩阵A施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是
相等的. （ ）
49、设A是4×5矩阵，r(A)=3，则A中的所有3阶子式都不为0. （ ） 50、对矩阵A施以一次初等行变换得到矩阵B，则有r(A)r(B). （ ） 51、若6阶矩阵A中所有的4阶子式都为0，则0r(A)4. （ ） 52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （ ）
53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （ ） 54、等价的矩阵有相同的秩. （ ） 55、n阶矩阵就是n阶行列式. （ ）
56、用矩阵A左乘以矩阵B等于用矩阵A与矩阵B中对应位置的元素相乘. （ ）
57、设A为三阶方阵且A2，则3ATA108. （ ）
58、方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （ ）
59、方阵A可逆的充分必要条件是A与同阶的单位矩阵等价. （ ） 60、方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵. （ ） 61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )
62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （ ）
63、设A，B都是n阶可逆矩阵，O为n阶零矩阵，C为2n阶分块对角矩阵即
OAO
，则C的逆矩阵为CCOBB1
4
A1
. （ ） O
64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （ ） 65、零向量可由任意向量组线性表出. （ ）
n(n4)线性相关. 66、若1，2，3，4线性无关，则1，2，
（ ）
67、两个n维向量线性相关的充要条件是两个n维向量的各个分量对应成比例. （ ） 68、若k11
k22knn0，则1，2，，n线性相关. （ ）
，kn，都有69、若对任意一组不全为0的数k1，k2，
k11k22knn0，则1，2，，n线性无关. （ ）
70、若向量组A：1,2,,m线性相关，且可由向量组B：1,2,,s线性表出，则ms. （ ）
71、等价的向量组所含向量个数相同. （ ） 72、任意一个向量组都存在极大无关组. （ ）
73、设向量组i1,i2,,im是向量组1,2,,n的一个子组。若i1,i2,,im线性无关，且向量组1,2,,n中存在一个向量可写成其子组i1,i2,,im的线性组合，则称子组i1,i2,,im是该向量组1,2,,n的一个极大无关子组. （ ）
74、向量组的极大无关子组可以不唯一. （ ） 75、向量组的任意两个极大无关组等价. （ ） 76、向量组中向量的个数称为向量组的秩. （ ）
77、向量组线性无关的充要条件是该向量组的秩等于向量组所含向量的个数. （ ）
，n的秩为r（rn），则1，2，，n中由r+178、设向量组1，2，
个向量组成的部分组线性相关. （ ）
79、设A为n阶方阵，r(A)=r，则在A的n个行向量中必有r个行向量线性无关. （ ）
80、方阵A可逆的充分必要条件是齐次线性方程组AX0只有零解. （ ）
81、非齐次线性方程组AmnX
b有解的充分必要条件是m=n. （ ）
82、非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是r(A)r(A),其中
A(Ab). （ ）
5
83、n元非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是
r(A)r(A)n，其中A(Ab). （ ）
84、n元非齐次线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是
r(A)r(A)n，其中A(Ab). （ ）
85、n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)n. （ ）
86、n元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是矩阵A的列向量组线性相关. （ ）
87、齐次线性方程组没有无解的情况. （ ）
88、n元非齐次线性方程组AXb有解的充分必要条件是向量b能由矩阵A的列向量组线性表示. （ ）
，Xr要构成齐次线性方程组AX=0的基础解系，必须满足如下89、X1，X2，
，Xr线性无关；②该方程组的任意一个解均可由两个条件：①X1，X2，
X1，X2，，Xr线性表示. （ ）
90、基础解系中解向量的个数等于系数矩阵的秩. （ ）
91、n元齐次线性方程组AX=0中系数矩阵的秩r(A)=r，则基础解系中解向量的个数等于n-r. （ ）
92、非齐次线性方程组的通解可由非齐次线性方程组的一个特解加对应齐次线性方程组的基础解系的线性组合. （ ）
93、设X1与X2是n元齐次线性方程组AX=0的两个解，则X1X2是AX=b的一个特解. （ ）
94、设X1与X2是n元非齐次线性方程组AX=b的两个特解，则X1X2是AX=0的一个特解. （ ）
，Xr是非齐次线性方程组AX=b的解向量，则95、若X1，X2，
k1X1k2X2krXr也是AX=b的解. （ ）
96、含有零向量的向量组一定线性相关. （ ）
，n线性相关，则对任意不全为0的数k1，k2，，kn，都97、若1，2，
有k11k22knn0. （ ）
98、若向量组A中的某一个向量可由向量组B线性表出，且向量组B中也有一
个向量可由向量组A线性表出，则称向量组A与向量组B等价. （ ）
6
99、设向量组i1,i2,,im是向量组1,2,,n的一个子组。若i1,i2,,im线性无关，且向量组1,2,,n中任意m+1个向量(只要存在)都线性相关，则称子组i1,i2,,im是该向量组1,2,,n的一个极大无关子组. （ ） 100、等价的向量组秩相同. （ ）
101、矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩. （ ）
102、n元齐次线性方程组AX=0，当r(A)n时，该方程组只有零解. （ ）
103、如果一个齐次线性方程组的方程个数少于未知量的个数，则该方程组有非零解.（ ）
104、基础解系中的解向量有可能不线性无关. （ ） 105、只有方阵才能计算特征值和特征向量. （ ）
106、二重特征值一定会有两个线性无关的特征向量. （ ） 107、n阶矩阵A和它的转置矩阵的特征值可能不同. （ ） 108、方阵A的特征值的乘积等于A的行列式值. （ ）
109、n阶矩阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值都不等于0. （ ） 110、对任意的方阵而言，一个特征向量可以属于不同的特征值. （ ） 111、3阶可逆矩阵A的一个特征值为2，则矩阵BE2AA2的一个特征值为9. （ ）
112、对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素. （ ）
113、已知3阶方阵A的特征值为2，-1，0，则A的主对角线上的元素之和为1. （ ）
114、若A与B相似，则r(A)=r(B)，但是A不一定等于B. （ ） 115、若A，B为n阶矩阵，P是正交矩阵，如果P1APB，则A与B相似. （ ）
-100
116、3阶方阵A与对角矩阵D030相似，则-1，3，2是A的三个特征
002
值. （ ）
123123
117、矩阵A143与B246不相似. （ ）
000000
118、n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. （ ）
7
119、4阶方阵A的特征值分别是-1，4，7，2，则方阵A一定可以对角化. （ ）
120、3阶方阵A的特征值分别是3（二重），7，则方阵A一定不可以对角化. （ ）
121、正交矩阵Q的n个列向量都是两两正交的单位向量. （ ） 122、若T0，则与线性无关. （ ） 123、正交矩阵一定是可逆矩阵. （ ）
124、设Q是n阶矩阵，若QQTE，则Q是正交矩阵. （ ） 125、三维向量1，2，3线性无关，经过正交化和单位化以后的向量
1，2，3可以构成3阶的正交矩阵. （ ）
126、正交矩阵的行列式值一定等于1. （ ） 127、实对称矩阵一定可以对角化. （ ）
128、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交向量. （ ） 129、实对称矩阵的特征值都是实数. （ ）
130、特征值可能为0，特征向量一定是非零. （ ） 131、方阵A的特征值之和等于A的行列式. （ ）
132、若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，但是A与B的特征值不一定相同. （ ）
133、如果4阶方阵A与4E相似，则A的特征值为1. （ ）
134、4阶方阵A的特征值分别是-1，4，7，2，则方阵A的对角化矩阵可以表
-10示为
00000
400
. （ ）
070
002
135、正交矩阵Q的n个列向量都是两两正交的单位向量，但是其n个行向量一
定不是两两正交的单位向量. （ ）
136、若Q1，Q2，Q3是n阶正交矩阵，则它们的乘积Q1Q2Q3不一定是正交矩阵. （ ）
120
137、方阵A223一定可对角化. （ ）
034
23
138、函数f(x1,x2,x3)x12x1x2x3x1x32x1x2是二次型.（ ）
139、设有二次型fXTAX，A称为二次型f的矩阵，其特点是ATA.（ ）
22140、二次型fx12x2是标准形.（ ） 4x3
8
141、任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.（ ） 142、合同变换就是初等变换.（ ）
143、一个二次型的标准形一定是唯一的.（ ）
144、二次型f的惯性指数等于标准形中非零项的项数.（ ）
145、设有实二次型fXTAX，若对任意的X，都有fXTAX0，则称f为正定二次型.（ ）
146、n元实二次型fXTAX为正定二次型的充要条件是它的标准形中n个系数全为正数.（ ）
147、若实对称矩阵A的特征值非负，则实二次型fXTAX一定是正定的.（ ）
148、实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的各阶顺序主子式全大于等于0.（ ）
149、实二次型的平方项的系数全大于0，则该二次型必为正定的.（ ） 150、正定矩阵A是可逆的，且|A|0. （ ）
12
151、二次型f(x1,x2)x4x1x23x所对应的矩阵为A23.（ ）
2
1
22
20022
152、实对称矩阵A032所对应的实二次型为f2x123x23x32x2x3.
023
（ ）
153、设有二次型fXTAX，则二次型f的秩等于其对应的矩阵A的秩.（ ）
154、二次型f的正惯性指数与负惯性指数之差等于标准形中非零项的项数.（ ）
22
155、二次型f(x1,x2,,xn)x12x2是正定二次型.（ ） xn
156、实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正.（ ）
a1
a2b2
c2
a3
a1
a23a2b2
c2
a3
3a3b36. （ ） c3
157、设b1
c1b36，则3a1b1c3c1
158、若行列式主对角线上的元素全为0，则该行列式的值必为0. （ ）
159、两个零矩阵必相等. （ ）
160、数k乘以矩阵A，是指用数k乘以矩阵A中的每一个元素. （ ） 161、任意一个2维向量均可由2维基本单位向量组线性表出. （ ）
9
162、若1，2，3，4线性相关，则1，2，3，4，5，6不一定线性相关. （ ）
163、若n元齐次线性方程组AnnX0的系数矩阵的秩r(A)n，则系数矩阵A的列向量线性无关. （ ）
164、对方阵A来说，属于不同特征值的特征向量可能线性相关. （ ） 165、若两个同阶方阵有相同的特征值，那么这两个方阵相似. （ ）
22
166、二次型f(x1,x2,x3)x124x1x22x1x32x2的秩等于2.（ ） 6x3
a1a2b2
c2
a3
b31，那么c3
ka1b1
b1c1
ka2b2
b2c2
ka3b3
b3c3
k. （ ）
167、设b1
c1
168、行列式与它的转置行列式的值相等. （ ）
a00100
169、3阶数量矩阵0a0a010. （ ）
00a001
170、设E是与方阵A同阶的单位矩阵，则AEEAA.（ ）
171、任一非零向量有可能线性相关. （ ）
172、若n维向量组1,2,,m线性无关，则将每个向量i(i1,2,,m)添加s个分量，得到的n+s维向量1,2,,m也线性无关. （ ）
173、方阵A可逆的充分必要条件是非齐次线性方程组AXb有唯一的解. （ ）
174、对任意的方阵而言，属于一个特征值的特征向量仅有一个. （ ） 175、方阵A的属于特征值的所有特征向量即为方程(EA)X0的全部解. （ ）
176、任何一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.（ ）
177、将n阶行列式中元素aij所在的行和列的元素划去后，剩下的元素构成的
n1阶行列式称为元素aij的代数余子式. （ ）
178、当矩阵A的行数等于矩阵B的列数的时候，可以进行A左乘B的运算. （ ）
179、若A可逆，则A的转置矩阵AT也可逆，并且(AT)1(A1)T. （ ） 180、向量组1,2,,n线性相关的充要条件是向量组中的任意一个向量都可由剩余的n-1个向量线性表出. （ ）
10
181、设A为4阶方阵，且r(A)=2，则齐次线性方程组AX=0的基础解系包含的解向量的个数为2. （ ）
182、若矩阵A可逆，且矩阵B与矩阵A相似，则矩阵B也可逆，并且A的逆与B的逆也相似. （ ）
183、3阶方阵A的特征值分别是3（二重），7，并且A的二重特征值3恰有两个线性无关的特征向量1，2，则方阵A一定可以对角化. （ ） 184、设A，B为n阶矩阵，若存在初等矩阵C，使得BCTAC，则称A与B合同.（ ）
185、实对称矩阵A11
1
3
是正定矩阵.11
）
（
本文来源：https://www.wddqxz.cn/d69fd52f93c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad71d.html
2022-07-21
