棱台体积公式推导

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棱台体积公式 推导

用平行棱台底面的平面截棱锥截去一个小棱锥得一个棱台 且棱台的高 h=棱锥的高 H-截去的小棱锥的高

h1.

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设棱台的下底面积 ,亦棱锥的底面积为 s,棱台的上底面积 ,亦小棱锥的 底面积为 s1,

由棱锥截面定理有 s1/s=[h1/(h+h1)]^2

得 h1/(h+h1)= √s1/ √s h1=h* √s1/( √s-s1)

棱台的体积 =棱锥的体积 -截去的小棱锥的体积 =(1/3)*s*H-(1/3)*s1*h1 =1/3[s*(h-h1)-s1*h1] =1/3[s*h+(s-s1)*h1]

=1/3{s*h+(s- s1)*[h* √s1/(-√s1)]} =(h/3){s+(s- s1)* √s1/( -√s1)} =(h/3){s+( √s+√s1)* √s1} =(h/3)(s+ √s* √s1+s1).

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