梅涅劳斯定理

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第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理

在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在。同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300 分中的50 分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”。 除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.

1．背景：Menelaus定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的. 2．定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F

三点，则：.

E

A

FAFBDCEA

F1

FBDCEA

E



BCD D

BC



3．说明：（1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一

边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.

（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式. （3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.

4．记忆：

A点到分点B点到分点C点到分点

1.

分点到B点分点到C点分点到A点

5（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A作AG//BC交DF延长线于G，

AFAGCECD

∵AG//BC，∴，， 

FBBDEAAG

AFCEBDAGCDBDAFBDCE∴1，∴1. FBEACDBDAGCDFBDCEA（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A、B、C作AA'、BB'、CC'垂直

已知直线，由直角三角形相似比，易知

AFAA'BDBB'CECC'

、、， FBBB'DCCC'EAAA'AFBDCEAA'BB'CC'

1. ∴

FBDCEABB'CC'AA'

（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）. 7．定理的应用：


例题1：已知过ABC顶点C的直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：

AE2AF

. 

EDFB

证明：直线CEF截ABD，由梅涅劳斯定理，

A

AFBCDE

1，又BC2CD， FBCDEAAFDE1AE2AF∴. ，则FBEA2EDFB

得：

F

E

BD

C

[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.

变式练习１：在△ABC 中，AG是角平分线，D是BC中点，

DG⊥AG交AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF=

EB

D

CF

A

1

(ABAC)． 2

例题2：已知过ABC重心G的直线分别交边AB、AC及

G

CB延长线于点E、F、D，求证：

BECF

1. EAFA

A

证明：连接AG并延长交BC于M，则BMCM，

∵DEG截ABM，

G

BEAGMDE

1； EAGMDB

CFAGMDDBM

同理：1

FAGMDC

BEGMDBCFGMDC∴，， EAAGMDFAAGMD

BECFGM(DBDC)GMDBDC12BECF∴即1，1. EAFAAGMDAGMD21EAFA

∴由梅氏定理得，

F

C



练习.如图，若RtABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，

D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。 证明：在EBC中，作B的平分线BH

C 则：EBCACK，HBCACE

HBCHCBACEHCB90

D 即：BHCE

∴EBC为等腰三角形 H 作BC上的高EP,则：CKEP

对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有

PB

A

EK

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