解答与完全平方数有关的竞赛题方法

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如下文章已经刊登于2013年12月《中学教研-数学》杂志第39页至40页

解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法

518076 广东省深圳市南山区蛇口中学 王远征



在数学竞赛试卷中，频繁出现这样的一类问题：“求自然数n，使得关于n的一个二次多项式nanb的值是完全平方数，（a,b为常数）”．在此，笔者给出解答这类问题的一般方法，即设参数、配方，对多项式分解因式，同时对常数分解成整数乘积的形式，然后构造方程组，进而求出满足题设条件的自然数n和所设参数的值．举例介绍如下：

例1．已知n是自然数，且n17n73是完全平方数，那么n的值是 或 ． （第13届希望杯初二年级（第一试）试题）

解析：依题意设n17n73=m，（m是自然数）．

配方得：(2n17)3=4m，移项，并对多项式分解因式，且把常数3也分解成两个整数乘积的形式，于是得：

2

2

2

22

2

(2n172m)(2n172m)31331，

因为m,n都是自然数，所以2n172m和2n172m都是整数， 且2n172m2n172m。于是有：

2n172m32n172m1n9n8

或，分别解得：或。 

2n172m12n172m3m1m1

故n的值是8或9．

该方法通俗易懂，有普遍的实用性，且解题过程简洁明了，易于被掌握和应用。

例题2．关于m,n的方程

1113

的整数解m,n= 。 2

mnmn4

（2013年上海数学竞赛新知杯第6题）

解析：视为“m”为常数，由原方程整理成关于n的一元二次方程得：

43mn24mn40

此方程有整数解的必要条件是：16m48m64是完全平方数。

因为16m48m642[2m37]是完全平方数，可设k2m37，

2

2

2

2

2

2

则(k2m3)(k2m3)7171(7)。

因为k2m3k2m3。所以

k2m31k2m37m3m3

或，解得或 

k2m37k2m31k4k4

1


于是：n

4m2k2

2或（舍去）故整数解m,n=(3,2)。

243m5

例题2通过对分式方程去分母整理成关于n的一元二次方程，根据方程有整数解的必要

条件是判别式为完全平方数，将例题2转化为例1相似的问题来处理。

例题3．求能使2256是完全平方数的正整数n的值。（2011年全国初中数学联赛） 解析：依题意设2256=m，m是正整数。则(m16)(m16)2，可设

n

2

n

n

nxy，其中x，y都是正整数。且x<y.于是

x

1m162

, y

2m162

由（2）—(1)得：22则nxy=11.

x



yx

1251，则2x25且2yx11，解得：x5,y6，



此题将2n表示成2x2y的形式，以便为使用例题1提供解题方法创造条件。 例题4．已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积。（2012年

全国初中数学竞赛第二试（B）试题）

解析：设直角三角形的三边长依次为a、（a、且为abc），b、b、c，c均为正整数，外接圆的面积为s.。则



abc60(1)222

abc (2) (3)sc2

4

由（1）得：ab60c （4） 由（2）得：c(ab)2ab （5) 将（4）代入（5）化简得： ab180060c （6） 由（4）和（6）知：a、b是关于x的一元二次方程：

2

2

x2(c60)x180060c0的两个正整数根。 （7）

则方程（7）的判别式的值必为正整数的平方，不妨设：

c60241180060cm2 （m为正整数）

由上式恒等变形得：c60m7200。

2

2

即c60mc60m235。

5

2

2

整数7200共有因数51212154个，则将整数7200分解成两个正整数乘积的

2


形式可以写出

54

27个。 2

60cm

0，所以60cm0，则cm60。 2

而3cabc60且2cabc60，即20c30。则80c6090，而 0c60m60cm。

因为方程（7）的根为：x

故在27种不同的写成两个正整数乘积的表现形式中，只有如下两种分解方式符合题意：

60cm7260cm80

或。 

60cm10060cm90

分别解得

c26c25625

或。于是s或s169。

m14m54



参考文献：

1. 吴其明 骆华 《希望杯数学能力培训教程（初二）》【M】 气象出版社2008年10月. 2. 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 中学生数学【J】2012年第9期P30---35. 3. 王远征 一道联赛试题的“通俗”解答 中学生数学【J】2013年第10期P28

2014-2-5上传于百度文库

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