解答与完全平方数有关的竞赛题方法

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如下文章已经刊登于201312月《中学教研-数学》杂志第39页至40

解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法

518076 广东省深圳市南山区蛇口中学 王远征



数学竞赛试卷中,频繁出现这样的一类问题:“求自然数n,使得关于n的一个二次多项式nanb的值是完全平方数,a,b为常数).在此,笔者给出解答这类问题的一般方法,即设参数、配方,对多项式分解因式,同时对常数分解成整数乘积的形式,然后构造方程组,进而求出满足题设条件的自然数n和所设参数的值.举例介绍如下:

1.已知n是自然数,且n17n73是完全平方数,那么n的值是 (第13届希望杯初二年级(第一试)试题)

解析:依题意设n17n73=mm是自然数)

配方得:(2n17)3=4m,移项,并对多项式分解因式,且把常数3也分解成两个整数乘积的形式,于是得:

2

2

2

22

2

(2n172m)(2n172m)31331

因为m,n都是自然数,所以2n172m2n172m都是整数, 2n172m2n172m。于是有:

2n172m32n172m1n9n8

,分别解得:

2n172m12n172m3m1m1

n的值是89

该方法通俗易懂,有普遍的实用性,且解题过程简洁明了,易于被掌握和应用

例题2.关于m,n的方程

1113

的整数解m,n= 2

mnmn4

2013年上海数学竞赛新知杯第6题)

解析:视为“m”为常数,由原方程整理成关于n的一元二次方程得:

43mn24mn40

此方程有整数解的必要条件是:16m48m64是完全平方数。

因为16m48m642[2m37]是完全平方数,可设k2m37

2

2

2

2

2

2

(k2m3)(k2m3)7171(7)

因为k2m3k2m3。所以

k2m31k2m37m3m3

,解得

k2m37k2m31k4k4

1


于是:n

4m2k2

2(舍去)故整数解m,n=(3,2)

243m5

例题2通过对分式方程去分母整理成关于n的一元二次方程,根据方程有整数解的必要

条件是判别式为完全平方数,将例题2转化为例1相似的问题来处理。

例题3.求能使2256是完全平方数的正整数n的值。2011年全国初中数学联赛) 2256=mm(m16)(m16)2

n

2

n

n

nxy,其中xy都是正整数。且x<y.于是

x

1m162

, y

2m162

2(1)得:22nxy=11.

x



yx

12512x252yx11解得:x5,y6



此题将2n表示成2x2y的形式,以便为使用例题1提供解题方法创造条件。 例题4.已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积。2012

全国初中数学竞赛第二试(B)试题)

解析:设直角三角形的三边长依次为aa且为abcbbcc均为正整数,外接圆的面积为s.。则



abc60(1)222

abc (2) (3)sc2

4

由(1)得:ab60c 4 由(2)得:c(ab)2ab 5) 将(4)代入(5)化简得: ab180060c 6 由(4)和(6)知:ab是关于x的一元二次方程:

2

2

x2(c60)x180060c0的两个正整数根。 7

则方程(7)的判别式的值必为正整数的平方,不妨设:

c60241180060cm2 m为正整数)

由上式恒等变形得:c60m7200

2

2

c60mc60m235

5

2

2

整数7200共有因数51212154个,则将整数7200分解成两个正整数乘积的

2


形式可以写出

54

27个。 2

60cm

0,所以60cm0,则cm60 2

3cabc602cabc60,即20c30。则80c6090,而 0c60m60cm

因为方程(7)的根为:x

故在27种不同的写成两个正整数乘积的表现形式中,只有如下两种分解方式符合题意:

60cm7260cm80



60cm10060cm90

分别解得

c26c25625

。于是ss169

m14m54



参考文献:

1. 吴其明 骆华 《希望杯数学能力培训教程(初二M 气象出版社200810. 2. 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 中学生数学J2012年第9P30---35. 3. 王远征 一道联赛试题的“通俗”解答 中学生数学J2013年第10P28

2014-2-5上传于百度文库

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本文来源:https://www.wddqxz.cn/d4a50df3cd2f0066f5335a8102d276a200296083.html

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