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2021届上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
考生注意 :
1. 本场考试时间为120分钟. 试卷共4页, 满分150分, 答题纸共2页.
2. 作答前, 在答题纸正面填写姓名、准考证号, 反面填写姓名. 将核对后的条形码贴在 指定位置.
3. 所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域, 不得错位. 在试卷上作 答一律不得分.
4. 用2B铅笔作答选择题, 用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1. 已知等差数列an的首项为3, 公差为2, 则a10_______. 2. 已知z13i, 则 zi _______.
3. 已知圆柱的底面半径为1, 高为2, 则圆柱的侧面积为________. 4. 不等式
2x5
x2
1的解集为_________. 5. 直线x2与直线3y10的夹角为________.
6. 若方程组a1xb1yc1
a1b1a2
xb无解, 则 _________.
2yc2a2b27. 已知(1x)n的展开式中, 唯有x3的系数最大, 则(1x)n的系数和为_______.
8. 已知函数f(x)3x
a
3x
1
(a0)的最小值为5, 则a________. 9. 在无穷等比数列an中, xlim(
a1an)4, 则a2的取值范围是________.
10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟, 现有五项运动可以选择, 如下表所示, 问有几种运动方式组合_________.
第1页 (共5页) A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点—8点 8点—9点 9点—10点 10点—11点 11点—12点 30分钟
20分钟
40分钟
30分钟
30分钟
11. 已知椭圆x2
y2
b
21 (0b1)的左、右焦点为F1、F2, 以O为顶点, F2为焦点作抛物线交椭
圆与P, 且PFF1245, 则抛物线的准线方程是__________. 12. 已知0, 存在实数, 使得对任意nN, cos(n)3
2
, 则的最小值是________. 二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13. 下列函数中, 在定义域内存在反函数的是( )
A. f(x)x2 B. f(x)sinx C. f(x)2x D. f(x)1
14. 已知集合Ax|x1, xR, Bx|x2x20, xR
, 则下列关系式中正确的是( ).
A. AB B.
R
A
R
B C. AB D. ABR
15. 已知函数yf(x)的定义域为R, 下列是f(x)无最大值的充分条件是( )
A. f(x)为偶函数且关于点(1, 1)对称 B. f(x)为偶函数且关于直线x1对称 C. f(x)为奇函数且关于点(1, 1)对称 D. f(x)为奇函数且关于直线x1对称 16. 在ABC中, D为BC中点, E为AD中点, 则以下结论 : ① 存在ABC, 使得ABCE0;
② 存在三角形ABC, 使得CE//(CBCA); 它们的成立情况是( ) A. ①成立, ②成立 B. ①成立, ②不成立 C. ①不成立, ②成立 D. ①不成立, ②不成立 三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17. 四棱锥PABCD, 底面为正方形ABCD, 边长为4, E为AB中点, PE平面ABCD.
(1) 若PAB为等边三角形, 求四棱锥PABCD的体积;
(2) 若CD的中点为F, PF与平面ABCD所成角为45, 求PC与AD所成角的大小.
第2页 (共5页)
18. 已知A、B、C为ABC的三个内角, a、b、c是其三条边, a2, cosC
14
. (1) 若sinA2sinB, 求b、c; (2) 若cos(A
4
4)5
, 求c.
19. (1) 团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点, 测量距离发现一点P满足 PA PB =20 千米, 可知P在A、B为焦点的双曲线上, 以O点为原点, 东侧为x
轴正半轴, 北侧为y轴正半轴, 建立平面直角坐标系, P在北偏东60处, 求双曲线标 准方程和P点坐标.
(2) 团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点, 测量距离发现 QA QB =30千米, QC QD =10千米. 求 OQ (精确到1米)和Q点位置(精确到1).
第3页 (共5页)
20. 已知函数f(x)|xa|ax.
(1) 若a1, 求函数的定义域;
(2) 若a0, 若f(ax)a有2个不同实数根, 求a的取值范围;
(3) 是否存在实数a, 使得函数f(x)在定义域内具有单调性? 求出a的取值范围.
21. 已知数列an满足an0, 对任意n2, an和an1中存在一项使其为另一项与an1的等差中项.
(1) 已知a15, a23, a42, 求a3的所有可能取值;
(2) 已知a1a4a70, a2、a5、a8为正数. 求证 : a2、a5、a8成等比数列; (3) 已知数列中恰有3项为0, 即arasat0, 2rst, 且a11, a22. 求ar1as1at1的最大值.
第4页 (共5页)
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2021届上海市春季高考数学试卷
答案
一. 填空题 1. 21 2.
5 3. 4 4. (7, 2) 5.
6
6. 0 7. 66 8. 9 9. (4, 0)(0, 4) 10. 23 11. x12 12.
2 5
二. 选择题
13. C 14. D 15. C 16. B
二. 解答题 17. (1)V323PABCD
3; (2)arctan5
22或arccos3
18. (1)b1; c6 (2)c
530
2
19. (1)x2y21 100300
;p(152562, 2) (2) OQ 19米; Q点位置北偏东66.
20. (1)x(, 2][0, );(2)a(0, 1
4
);
(3)当a1
4
时, 函数f(x)在定义域R上连续, 且单调递减. 21. (1)
a31
(2) 证明略; 公比q
1 4
;
(3) a21r1as1at1的最大值为
64
第5页 (共5页) 第6页 (共5页)
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