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绝对值函数图象的速画法
高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。
一、用“三点定形法”画单绝对值函数f(x)axhk(a0)的图象
f(x)axhk(a0)与g(x)a(xh)2k(a0)的图象类似，它们的顶点都
是（h,k），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（h,k）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得f(x)axhk(a0)的图象。
例：已知函数f(x)axb2在0,上单调递增，则a、b的取值范围是 。 分析：当a=0时，f(x)2为常数函数，不具单调性；
当a0时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若a0，图象开口向下(见图1)，总不满足条件；若a0，图象开口向上，当b0时，函数f(x)在0,不单调(见图2)；当b0，函数f(x)在0,单调(见图3)。所以a、b的范围应是a0,b0.
4
4
4
2
A
2
2
A
B
B
图1
-2
51015
图2
A
5
图3
10
20
5
15
10
B
20
-2
-2
a = -1.
b = 0.9二、用“三点定形法”作双绝对值和式函数f(x)xaxb(ab)的图象 rx = x-b+2-6
-6
-6
(xa)sx = 2x(ab)
-4
-4
-4
因为-8f(x)xaxbba
-8
(axb)，可见其图象是由一条水
-8
a = 2.2
b = 0.9rx = x-sx =
2x(ab)
-10
(xb)
-10
-10
平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。又联立以上分段函
ab
xy2x(ab)
数两侧解析式解得，2，可知左右两侧射线延长线必交于x轴
y2x(ab)y0
上的点
(
abab
,0)。据此，可以三点(a,f(a)),(b,f(b)),(,0)确定函数22
。 f(x)xaxb(ab)的图形，称为“三点定形法”
例：作函数f(x)x1x3的图象
解：先确定此函数的两个绝对值代数式的零点为：－1和3。因为
f(1)4,f(3)4,
13
所以在平面直角坐标系中先作出A(－1，
2
A
4
B
2
1,4)、B(3,4)、C(1,0)三点；连接线段AB，再作射线CA，CB；注意作图时线段CA、CB部分可以不画出，也可以作作成虚线(如图4)。
以上方法仅适用于绝对值中自变量x的系数为1时的快速作图。
三、用“两点定形法”作双绝对值差式函数f(x)xaxb的图象
C
-2
5
图4
-4
(xa)ab
(axb)，可见其图象是由两当a时，f(x)xaxb2xab
ba(xb)
-6-8
端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数
-10
式的零点处转折。当a>b时同理。据此，可以点(a,f(a)),(b,f(b))
2
A
5
10
确定函数f(x)xaxb的图象。
例：作函数f(x)x3x1
解：先确定两个绝对值代数式的零点为：1和3。因为
-2
图5
B
f(1)2,f(3)2，所以在坐标平面内先作点A(1,2), B(3,－
-4
2)，连接线段AB，再过A作向左延伸的水平射线，过B作向右延伸的水平射线即可(见图5)。
-6
以上方法仅适用于绝对值中自变量x的系数为1时的快速作图。 四、用“多点定形法”作多绝对值函数
-8
f(x)m1xa1m2xa2mixai(a1a2ai)的图象
-10
(m1m2mi)x(m1a1m2a2miai)(xa1)
(mmm)x(mamama)(axa)12i1122ii12
因为f(x)
(m1m2mi)x(m1a1m2a2miai)(xai)
、Ai决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代可知其图象是由i个顶点A1、A2、
数式的零点决定，中间由i1条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。下面分
情况讨论两条射线的画法：
当m1m2mi0时，则首尾两段图象斜率为0，可见其图象均为水平射线； 当
m1m2mi0时
，联立首尾两段的解析式有
y(m1m2mi)x(m1a1m2a2miai)
y(m1m2mi)x(m1a1m2a2miai)
，得
m1a1m2a2miaix
m1m2mi，可知首尾两射线必相交于x轴上的点A0
y0
（
m1a1m2a2miai
,0），因此只需作出射线A0A1和A0Ai然后去掉线段
m1m2mi
2
A0A1和A0Ai，就可以得到首尾两条射线。
当然，也可以在xa1与xai的范围内各取一点来作两侧的两条射线。
例：作函数f(x)2x13x4的图象。
BC
5
GF
10
-2
A
-4-6
图6
14
解：f(x)2x13x42x3x，其绝对值
23
代数式的零点为
141545
，所以图象两顶点为和,计算f(),f()
232233
154514A(,),B(,)，两侧两射线交点横坐标为3，纵坐标为0。所以作点C（3,0）。223323
-8-10
连接线段AB，作射线CA、CB并去除线段CA、CB即得所作图象（见图6）。
也可由f(0)3,f(4)1,作出点D(0,3),E(4,1),作射线AD、BE，而得两侧图象。
参考文献
1 周学文、南山、姜文清. 含绝对值的函数［J］.中学数学教学参考，1995,7
本文来源：https://www.wddqxz.cn/d247f5fc0a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79ca4.html
2022-05-20
