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高一数学导学案 主备人:李恒 审核 高一备课组 使用日期:__ 2013____ ______ 编号:
正切函数的性质与图象
教学目的:
知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切
函数图象解决函数有关的性质;
能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法;2.理解用函数
图象解决有关性质问题的方法;
教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 一、复习引入:
问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列各角的正切线:
.
下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课:
1.正切函数ytanx的定义域是什么?
x|x2k,kz
2.正切函数是不是周期函数?
tanxtanx
xR,且xk2,kz
,
∴是ytanxxR,且xk
2,kz
的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作ytanx,x2,
2
的图象
说明:(1)正切 函数的最小正周 期不能比小, 正切函数的最小 正周期是; (2)根据正切函 数的周期性,把 上述图象向左、 右扩展,得到正
切函数ytanxxR,且x
2
kkz的图象,称“正切曲
线”。
y
y
x 3
O
3x 2
2
0
2
2
(3)正切曲线是由被相互平行的直线xk
2
kZ所隔
开的无穷多支曲线组成的。
4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域:x|x
2k,kz
; (2)值域:R 观察:当x从小于k
2
kz,xk
2
时,
tanx
当x从大于
2
kkz,x
2
k时,tanx
。
1
高一数学导学案 主备人:李恒 审核 高一备课组 使用日期:__ 2013____ ______ 编号:
(3)周期性:T;
(4)奇偶性:由tanxtanx知,正切函数是奇函数;
(5)单调性:在开区间2k,2k
kz内,函数单调递增。
5.讲解范例: 例1比较tan
134与tan17
5
的大小 解:tan1317
24tan4,tan5
tan
5,
0
4
25,ytanx在
0,2内
单
调
递
增
,
tan
tan
2213174
5,tan4tan5,即tan
4tan5
例2:求下列函数的周期: (1)y3tanx
5
答:
T。 (2)ytan
3x
6
答:T
3
。
说明:函数yAtanxA0,0
的周期T
.
例3:求函数ytan3x
3
的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性,
解:1、由3x
3
k
2得x
k35
18
,所求定义域为x|xR,且xk5
318,kz
2、值域为R,周期T
3
,
3、在区间kk5318,3
18
kz上是增函数。
思考1:你能判断它的奇偶性吗? (是非奇非偶函数), 练习1:求函数ytan
2
x3的定义域、周期性、奇偶性、单调
性。
略解:定义域:
x|xR且xk
4,kz
值域:R 奇偶性:非奇非偶函数 单调性:在(k
3,k
)44
上是增函数 思考2:你能用图象求函数y
tanx3的定义域吗?
解:由tanx30 得 tanx3,利用图象知,所求定义域
为
k
3
,k
2
kZ,
y
亦可利用单位圆求解。
3
y
T
3
0
A x
0
x
32
四、小结:本节课学习了以下内容: 1.
因
为
正
切
函
数
ytanx
的
定
义
域
是
{x|xR,xk
2
,kZ},所以它的图象被
x
2,3
2
,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π/2,π/2)的区间内的函数的图象,然后再将它沿x轴向左或向右移动,每次移动的距离是π个单位,就可以得到整个正切函数的图象。
2
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