最大公因数和最小公倍数

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第八讲 最大公因数与最小公倍数

知识平台： 1． 定义

（1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

（2）几个数公有的因数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 2．性质

（1）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数。

（2）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质的。

（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 3．特殊关系数的最大公因数和最小公倍数。

（1）两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数之和。

（2）两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 范例点击

例1 在一个长30米，宽12米的长方形池塘的四角和四条边上种树，若相邻两棵树之间的距离相等，最小要种多少棵树？每相邻两棵树之间的距离是多少米？ 分析与解答

要使种树棵数最少，则使每相邻两树之间的距离最大，就是求长和宽的最大公因数。 30和12的最大公因数是6。30÷6=5，12÷6=2 树的棵数是：5×2+2×2=14棵 每相邻两棵树之间的距离是6米。 练习

将一个长325厘米，宽175厘米，高75厘米的长方体木块锯成相等的正方体小木块，最少可锯多少块？ 分析与解答

要使小木块的块数最小，则小正方体的棱长是长方体的长、宽、高的最大公因数。 325，175，75的最大公因数是25，所以，小正方体木块有： （325÷25）×（17525）×（75÷25）=273

例2 甲、乙、丙三人在少年宫分别参加了不同的兴趣小组，甲每4天去参加一次活动，乙每5天去参加一次活动，丙每6天去参加一次活动。某一个星期日，他们三人去参加活动时相遇，问至少要多少天，他们才会再次相遇？相遇时是星期几？ 分析与解答

距再次相遇的天数应是4、5、6的公倍数，而且是最小公倍数。所以：4、5、6的最小公倍数是60， 60÷7=8…4 至少要过60天他们才会再次相遇，相遇时是星期四。 练习：

1．有一种红砖，长24厘米、宽12厘米、高5厘米，问至少用这种砖多少块才能拼成一个实心的正方体？ 分析与解答

拼成的正方体的棱长应是砖的长、宽、高的最小公倍数，因此：24、12、5的最小公倍数是120，（120÷24）×（120÷12）×（120÷5）=1200

2．一个两位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，求这个两位数。 分析与解答

被9除余7，被7除余5，被3除余1，说明这个两位数比9、7、3的公倍数少2，可


先求出9、7、3的最小公倍数是63，9，7，3的倍数中只有63是两位数，所以，所求位数为：63-2=61。

例3 两数的最小公倍数是180，最大公因数是15，已知其中一数为45，求另一数是多少？ 分析与解答

因为两数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于两数的乘积，所以，另一数是： 180×15÷45=60 练习：

求2821和1519的最大公因数。 分析与解答

用短除法求这两个数的最大公因数很不方便，可以用辗转相除法来求2821和1519的最大公因数。

2821 1519 1 1519 1302 1 6 1302

1302 217 0

例4 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小明现在的年龄分别是多少岁？ 分析与解答

爷爷现在的年龄是小明的7倍，过几年，是小明的6倍、5倍、4倍、3倍、2倍，说明它们的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。因此，可先求出6、5、4、3、2的最小公倍数，还要考虑实际情况，再求爷爷比小明在多少岁。

[6，5，4，3，2]=60，考虑到实际情况，可知爷爷比小明大60岁。 设小明今年X岁，则爷爷今年7X岁。 7X-X=60 X=10 10×7=70

例5 一个产品有三个生产工序，第一个工序每人每分钟可完成3个，第二个工序每人每分钟可完成5个，第三个工序每人每分钟可完成7个，为合理安排人员，原有的500名工人可裁减几名？每个工序应各安排多少名工人？ 分析与解答

根据题意，可先求出3、5、7的最小公倍数，从而求出每分钟可完成的最少的产品数，再确定每一个工序的人数和可裁减的人数，也就可分配三道工序的工人数了。

各工序每分钟可完成的最少产品数：[3，5，7]=105 相应第一道工序工人数：105÷3=35 相应第二道工序工人数：105÷5=21 相应第三道工序工人数：105÷7=15 三道工序的总人数：35+21+15=71 500=71×7+3 即可裁减3名。

第一道工序工人数：35×7=245 第二道工序工人数：21×7=147 第三道工序工人数：15×7=105 练习：

1．现有语文书42本，数学书112本，外语书70本，平均分成若干堆，每堆中这三种书的

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