向量数量积的物理意义

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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

一、课题介绍

选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社B版)《必修4》第二章第三节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义． 二、教材分析

(一) 本节在教材中的地位和作用

向量数量积的物理背景与定义,包括数量积的定义、性质。它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时.

(二) 目标分析 1、知识与技能目标

（1）理解向量数量积、正射影的定义。 （2）掌握向量数量积的性质。

（3）了解用向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 2、过程与方法目标

通过对向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练，进而培养学生的探究能力和创新的精神. 3、情感态度与价值观目标

通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的，培养学生思考问题时认真严谨的学习态度。

(三) 教学的重点与难点

重点:向量数量积的定义、几何意义及其性质. 难点:向量数量积性质的探究. 三、教法分析

由物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，由学生探索推导数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解. 四、学法分析

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根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，因此，我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.



2


五、教学过程 教学

教学内容

环节

在物理学的

师生互动

设计意图

物理背景引入课堂

1.向量数量乘积的物理背景

激趣引入，课件展示，背景下，由旧

问题：如果一个物体在力F的作用下产生的位

学生观察后并回答

移为s，那么力F所做的功w等于多少？等式

教师提出的问题

两端分别为什么量，是什么影响力所做功的大



小，在数学上如何明确定义？

的关系

2．两个向量的夹角

已知两个非零向量a、b，OA=a，OB= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作〈a ，b〉

并规定0≤〈a ，b〉≤ 几点说明：

示，帮助学生加深理

（1）求两向量的夹角，需使向量共起点. （2）范围0≤〈a ，b〉≤. （3）〈a ，b〉=〈b ，a〉

解和认识

打好基础。



让学生体会数学的概括性，严谨性和可操作性 量积的定义

通过实物（圆规）演

学习向量数借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为具体到一般知识，体会从知识引出新

定

义形成

（4） a、b同向时〈a ，b〉=0

a、b反向时，〈a ，b〉= a ⊥b时，〈a ，b〉=



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教师由使小车产生位移的有效作用力引出正射影的概念

（5）规定：零向量与任意向量垂直. 3．向量在轴上的正射影 （1）概念：

已知向量a和轴l，作OA=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则



向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影. （2）正射影的数量：



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学生在了解向量在轴上的正射影及正射影的数量的基础上,自主探索发现其性质,提




正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量. 记作： al

在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。

高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。

向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ， 则有alacos



由于学生已有知识基础，学生自己总结，正射影的数量可正、可负、可为零，多媒体展示结果，学生整理。

通过实战，检验学生

1

a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一

个数量，不是向量. 当为锐角时为正值； 当为钝角时为负值； 当为直角时为0； 已知：轴l

)OA5，(1OA,l60, OA在l上的正射影的数量OA求

1

(2)OB5，OB,l120,



求OB在l上的正射影的数量OB

的掌握情况

（3）已知向量a,b,a4,a,b60,



1． 向量的数量积（内积）

定义：abcosa,b叫做向量a和b的数量积（或内积）

学生讨论后总结向量

记作：a·b



数量积的符号情况，

即 a·b = abcosa,b

概 念 深 化

概念讲解：

1．数量积a·b等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.

师生共同探索： 问题1：在教师的提示下，学生根据多媒体展示的图形，比较数

随着问题的解决进一步加深学生对新概念的理结概括能力

教师给出向量数量积

的概念，并加以强调 培养学生总

则向量a在向量b上的正射影的数量

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量积和正射影的公式，自己总结出向量数量积的几何意义

解与掌握.同时对易错点加以强调

两个向量的数 2．两个向量的数量积是一个实数，符号问题2：

由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘量积与数乘向量运算 向量是一个向量。



3．两个向量的数量积的性质： 设为两个非零向量， 1) ab  ab = 0

2) a、b同向时a·b=|a||b|反向时

结果有什么区别？

问题3：两个向量的数量积的性质 教师板书给出数量积性质的前半部分学生



a·b=-|a||b|，特别的aa = |a|2或讨论给出结果，多媒

|a|aa

3) |ab| ≤ |a||b| 4) cos =

体展示，学生整理，教师强调数量积性质的应用

ab



|a||b|



判断正误，并简要说明理由。（1）a00

(2)0a0(4)abab

(3)0BAAB

小试身手，通过6个有关数量积性质的抢答题，让学生分组抢答，使他们积极参与到课堂中来，体会成功的喜悦，培养竞争意识

学生板演并讲解，锻炼其胆识

通过练习，进一步巩固所学知识



进一步加深对数量积的理解

加深理解

(5)若a0,则对任一非零向量b有ab0(6)若ab0,则a,b中至少有一个为0（7）对任意向量a,b,c都有（ab）ca(bc)(8)若a,b是两个单位向量，则acbc

例1：已知a=5，b=4，〈a,b〉=120,求a·b 应 用 举 例

例2：

教师多媒体展示，强

在ABC中，a8,b7,C60,求BCCA 调易错点

例3:已知：ab18,a6,b4,

灵活应用公式，培养学生创新意识

5

求cosa,b。




学生由理论



(1)a2,b7,30，ab(2)a10,b15,45，ab



到实际操作，

通过身临其境的感受，使学生进一步灵活运用公式

逐步熟悉、深入理解例题类型，进一步巩固所学知识

回忆所学，加深印象，让学生体会参与其中的快乐

巩固练习

(3)a8,b15,135，ab



(4)ab32,a9,b4,求cosa,b（5）在ABC中，a4,b9,C30,求BCCA



课堂



小结

数学的严谨性，培养学生思考能力和习惯，

布置

教材P109A组

作业

六、教学反思

通过对本课题的学习过程，例题和习题的完成情况，在老师巡视和提问中及时发现问题，纠正学生出现的错误，促进学生知识的正迁移，提高学生的学习效率；根据对学生的学习情绪、学习效果及时进行评价，结合评价结果的反馈，及时调整学习过程、教学方法。 总之，我的教学宗旨是让学生获得有价值的数学，让学生学到必须的数学，让学生在数学上得到不同方向的发展。





学生总结，教师完善 进一步体会

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