三角形的__三条中线_三条高_三条角平分线__与三边的关系

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证明：三角形的三条角平分线必交于一点 证明：

设BO,CO分别为ABC中B及C的角平分线并且BO,CO相交于点O现证明AO也为A的角平分线

过O点分别作OEBC于E,ODAB于DOFAC于FBO为B的角平分线OD=OE同理:OE=OFODOF

在RTAOD与RTAOF中ODOF,AO为公共边RTAODRTAOFOADOAF即AO为A的角平分线



若∠A的角平分线AE交BC于E

则OA与OE的比例是多少？AO的长度是多少？ 设△ABC的三边长BC

a,ABc,ACb

且过O点作MN∥BC，交AB于M，交AC于N 过点O作OD⊥AB于D，

显然，OD为△ABC内切圆的半径r 如右图

A

D

F

O

B

C

E

A

D M

N

O

B

C

E




MN//BC

MOBOBCMBNC

(1)ABACAMMN

(2)ABBCAOMN

(3)AEBC

又BO为B的角平分线MBOOBCMOBMBOMBMO同理:NCNO设:MBMOx

xNO

则由(1)会有:

cbbx

NCNO

c

bxb

MNMONOx(1)x

cc

由(2)得

ABMBMN

ABBC

bxx

cxc即:ca

ac

解得:x

abcbaca(bc)

MN(1)

cabcabc

a(bc)

AOMNabcbc

由(3)有:

AEBCaabc




AObc

OEa下面求AO长度在RTADO中

bca22S

ODr其中:4S(abc)(abc)(acb)(bca)

abc

(上面为三角形内切圆半径公式)AD所以:

AOAD2OD2

bca2S

2abc

2

2

(bca)2(abc)(abc)(acb)(bca)



44(abc)2(bca)[(bca)(abc)(abc)(acb)]



4(abc)bc(bca)

abcAObc



AEabc所以:

abcabcbc(bca)AEAO

bcbcabcbc(abc)(bca)



bc




证明：三角形的三条中线相交于一点 证明：

设AB中线为CD，AC中线为BF，且CD与BF相交于点O 连接AO并延长交于BC于E 现证明点E为BC的中点 连接DF交AO于G 显然DF为△ABC的中位线

B

D

A

G O

F

C

E

DGAD1故:

BEAB2

1

DGBE(1)

2

1

同理:GFEC(2)

2

GF//BEGFOEBOGFGOEBEO

DGGO同理:

CEEOGFDGEBCE由(1),(2)有11ECBE22EBCE即:11CE2BE222CEBE即E为BC的中点

即有三角形的三条中线相交于一点




接下来求AO与OE的比例关系 显然：AG=GE

且：GO：OE=DG：EC=1:2 故：OE=2OG GE=3OG

AO=AG+GO=4OG

所以:AO:OE=4OG:2OG=2：1

B

D

O

C

E G

F A

2

即:AOAE

3

接下来求AE的长度

设ABc,ACb,BCa显然:

AE2AC2EC22ACECcosC

2a

b2abcosC

4

a2b2c2

又cosC

2ab

所以:

2222aabc

AE2b2ab

42ab

4b2a22(a2b2c2)

4



2(bc)a

AE

2



222


证明三角形的三条高相交于一点 证明：

△ABC中，设AB边上的高CD与AC边上的高BF 相交于点O，连接AO并延长交BC于E 下面证明AE⊥BC

容易证明点B、C、F、D四点共圆

（因为RT△BCD与RT△BCF有公共的斜边） 所以:

∠DFB=∠DCB（同弧上的圆周角相等）……(1) 另外:

RT△BOD∽RT△BAF

B

D

A

F

O E

C

BOBD



BABF

又∠OBD是△OBA与△DBF公共角 所以:

△OBA∽△DBF

所以: ∠DFB=∠OAB，由(1)有: ∠OAB==∠DCB 又∠OAB+∠AOD=90°，∠AOD=∠COE 所以: ∠DCB+∠COE=90° 即证明了: AE⊥BC

(abc)(abc)(acb)(bca)2S

由海伦公式易得:AE

a2a






求AO长度

过点A作BC的平行线 过点B作AC的平行线 过点C作AB的平行线 且其两两相交于M、N、L 显然CD⊥LM

平行四边形ABCM 与平行四边形ABLC 所以LC=AB=CM 所以CD为LM的中垂线 同理AE为MN的中垂线

BF为NL的中垂线

所以点O为△MNL的外心

且△MNL的边长分别为△ABC的两倍

所以△MNL外接圆的半径为△ABC外接圆半径的两倍，即为2R 即NO=2R，且AN=BC

L

B

N

D

O E

C

A

M

F

AONO2AN24R2a2



abcR

4S





4S(abc)(abc)(acb)(bca) （海伦公式）

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