点到直线的距离4

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点到直线的距离公式的思维方法

嘉兴市开明中学 闫海平

摘 要: 本文从不同角度给出了点到直线距离公式的九种推导方法。通过公式的探求过程，有助于培养学生多角度的看问题，进一步提高解决问题的能力。 关键词:点；线段；直线；距离

在新课程理念的指导下，具体如何运用数学思维方法来证明没有固定不变的格式，本文采用多种思维方法，探求点到直线距离公式，对于培养学生的思维能力很有帮助，同时可以使学生在解题过程中，培养类比思维能力、归纳思维能力、演绎思维能力等和运用新知识、探索新问题的意识，可使学生学到具有适应终身学习的基础知识、基本技能和方法，也是新课程改革的目标体现时代要求．

问题：已知点 P(x0,y0)直线l:AxByC0(A0,B0)求点P到直线l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 证法1：垂线法

证：点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，由定义求P到垂足之间的距离计算难度较大，为了简化计算，把直l的方程改为

A(xx0)Byy0Ax0By0C ①

先设过点P与直线l垂直的直线为l，垂足为Q，由 l'l可知 l'的斜率为

'

所以l的方程可表示为，

'

B AP

y

B(xx0)Ayy00 ②

由①式的平方加②式的平方得：

lQ

l'

x

图1

A

2

222

B2xx0yy0Ax0By0C



2

2

所以PQ(xx0)(yy0)

|Ax0By0C|

AB

2

2



这样直线l与垂线段的方程联立，直接得到点到直线的距离公式。

点评 经过变形转化，直接得到要证的结果，避免了求垂足的麻烦，大大的减少了计算量，体现了求异思维的方法。 证法2：直线与圆相切求圆的半径

证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。可以理解为，以P(x0,y0)为圆心的圆与直线相切时圆的半径等于点P到直线l的距离（图2），在l上取任

1


意点 Q(x,y),设过PQ两点的圆的方程为：

(xx0)2(yy0)2r2 ，左右两边同时乘以(A2B2)得 (A2B2)r2(A2B2)[(xx0)2(yy0)2]A2(xx0)2B2(yy0)2A2(yy0)2B2(xx0)2[A(xx0)B(yy0)]2[A(yy0)B(xx0)]2

[A(xx0)B(yy0)]2(Ax0By0C)2(因为AxByC0)r(xx0)2(yy0)2

|Ax0By0C|

A2B2

,



y

Pl

Q图2

x

当且仅当A(yy0)B（xx0）时取等号所以最小值就是d

|Ax0By0C|

AB

2

2



。

点评 结合直线与圆的位置关系，用运动的观点，转化为直线与圆有交点时求半径的最小值问题，用的是形象思维。 证法3：柯西不等式法

（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d都是实数，则：

（a2b2（)c2d2)（acbd)2.

证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式：

(A2B2)[(xx0)2(yy0)2][A(xx0)B(yy0)]2(Ax0By0C)2，

因为AxByC0,所以(xx0)2(yy0)2

|Ax0By0C|

AB

2

2

，

当且仅当A(yy0)B（xx0）时取等号所以最小值就是d

|Ax0By0C|

AB

2

2

。

。

点评 类比柯西不等式，他们有类似的形式，用柯西不等式后，可使复杂的问题转化为简洁的问题，体现类比思维好处。 证法4：三角函数法

证：设直线 l的倾斜角为 过点P作PM∥y轴交l于M x0,



Ax0C

，

b

ly

P

AxCAx0By0C

， |PM|y00

BB

易得∠MPQ＝ （图3）或∠MPQ＝1800（图4） 在两种情况下都有tan2MPQtan2

yP

M

l

Q

x

图3

Q

M

x

图4

A， B2

2

2


所以 cosMPQ

11tan

2



|B|AB

2

2

，

|PQ||PM|cosMPQ|

证法5：等面积法

Ax0By0C

|

B

|B|AB

2

2



|Ax0By0C|

AB

2

2

。

证：P作PM∥ y轴交l于M，过点P作PN∥ x轴交l于N（图5） 由解法三知|PM||

y

P

M

Ax0By0CAxBy0C

|；同理得 |PN||0|，

BA

l

N

Q

x

图5

在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高，

所以|PQ|

|PM||PN||PM||PN|

2

2



|Ax0By0C|

AB

2

2

，

点评 以上两种正法都用到了特殊的线段（垂直或水平的线段），用的是演绎思维方法。 证法6：相似三角形法

证：(图5)由PMPN,PQl得RtPQM∽RtNQP所以

|PQ|QM

，NQPQ

PMsinQMPPNsinQNP

|PQ|=QMQN

如图四所示：由

Ax0By0C

B

。

AxBy0C0

AA2B2

ABAB

2

2





|Ax0By0C|

AB

2

2

点评 也可以由RtPMN∽RtQMP或RtPMN∽RtQPN相似得证，这里不再证明，但是可经过比较得知，本方法较简单，用到的是比较思维的方法。 证法7：向量法

证：如图五，设直线l:AxByC0(A0,B0)的一个法向量y



n P

Q

B

n(1,)，Q为直线上任意一点，则PQ(x1x0,y1y0)，从而

A

点P到直线的距离为：

l

x图6

|xxB(yy)|

1010|A(x1x0)B(y1y0)||nPQ|Ad

， |n|B2A2B2

12

A

3


因为P点在直线l上,所以Ax1By1C0,从而

d

|Ax1By1Ax0By0|

AB

2

2



|Ax0By0C|

AB

2

2

。

点评 用向量来求距离是数学中常用的方法，通常可以使问题得到简化，用的是模型思维方法。

证法8：夹角法

l PT

证：设直线l与y轴的交点为T

y

y

Q

P

x

T CC

则点T的坐标为(0,),向量TP=(x0,y0+)， 图7 图8

BB

A

直线l的方向向量为a(1,)，直线PT与l的夹角为PTQ（图7或图8），

B

222

aTPaTPaTP2

COSPTQ,所以SinPTQ1COSPAQ, 

aTPaTP

l

x





所以PQTPSinPTQ

22

TPaTPa

TP

aTP



2





22

A22CCA1x0+y0x0y0

BBBB

A1B

2





CA

xy00

BBA

1B

2

2





|Ax0By0C|

AB

2

2

。

4


aTP

点评 在计算时，不是直接算出COSPTQ的值，而是在对

aTP



PQTPSinPTQ化简后才代入，可减少计算量，本方法用到了计算思维方法。

除以上方法之外，还可以用平行线法、参数方程法、二次函数法、点关于直线的对称法等，其中平行线法与三角函数法类似，参数方程法、二次函数法和点关于直线的对称法计算量较大，由于篇幅原因在这里就不再一一证明了。

在实际教学中，可以根据实际情况选择几种证法，使学生感受到“条条大路通罗马”的道理，来调动学生的积极性，激发他们大胆的去思考、去做、去探索和发现解决问题的思维方法，从而起到培养学生的发散思维能力，鉴别能力，最终具有选择好的描述方法的能力。 参考文献 [1] 张大松．《科学思维的艺术》 ．北京：科学出版社．2008．vii．viii． [2]《数学2》．北京：人民教育出版社．2007．2． [3]《数学4-5》．北京：人民教育出版社．2007．1．





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