10--排列组合

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高中数学第十章-排列组合二项定理

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．

组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：

（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．

（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

§10. 排列组合二项定理 知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：m种）

二、排列.

1. ⑪对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不．．．．．．同元素中取出m个元素的一个排列. ⑫相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑬排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的

m

一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

n

⑭排列数公式：

Amn(n1)(nm1)

n!

(mn,n,mN)

(nm)!

注意：nn!(n1)!n! 规定0! = 1

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mmmm1mm110

AnmnAnm 规定CnCnAnn1 1AnAmCnAnmAn1

2. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于n

n!

.

n1!n2!...nk!

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n(12)!3又例如：数字5、5、5、求其排列

1!2!个数？其排列个数n3!1.

3!

三、组合.

1. ⑪组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

m

⑫组合数公式：CmAnn(n1)(nm1)Cm

nnm

Am

m!

n!

m!(nm)!

nmm1mm

⑬两个公式：①CmnCn; ②CnCnCn1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，

1m1m

分二类，一类是含红球选法有CmnC11Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C

m

m1

n，如果不取这一元素，则需从剩余

n个元素中取出m个元素，所以共有

1mCmCn种，依分类原理有CmnnCn1.

⑭排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 012n

CnCnCnnn2

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024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1

kCnC

k

nk1n1



111

CkCknn1

k1n1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

123n1n111

（利用1）

2!3!4!(n1)!(n1)!n!(n1)!n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m1m33334

v. 递推法（即用CmnCnCn1递推）如：C3C4C5CnCn1. 02122nvi. 构造二项式. 如：(Cn )(Cn)(Cnn)C2n

证明：这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中xn的系数，左边为

01n12n2n00212n2

，而右边C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)

n

四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素

m1mnm1

排成一列，要求其中某m(mn)个元素必相邻的排列有Annm1Am个.其中Anm1是一个“整

体排列”，而Amm则是“局部排列”.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An. An1

1A2

12. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An

n1A2

21

③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An. Ann1

注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任2取的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

mm

例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插nmAnm1

空法），当n – m+1≥m, 即m≤n1时有意义.

2

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⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm

种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Am. ⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nn

CknC(k1)nnCn

nm

Akk

.

C2

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有43（平均分

2!

组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P

82C18C210C20/2!

）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，

mmm

共有多少种排法？有An，当n – m+1 ≥m, 即m≤n1时有意义. nmAnm1/Am

2

⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式x1x2x3x4（如图

3所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C11. 注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，有

x1x2x3...xnAa11a21...an1A，进而转化为求n1

a的正整数解的个数为CAn .

⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，

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r

并且都排在某r个指定位置则有ArrAknr.

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

1m111；不在某一位置上：m固定在某一位置上：Am或Anm（一类是不取出特殊AnAm1Am1An1n1n1

元素a，有Anm1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在

krkrkr内 。先C后A策略，排列CrrCnrAk；组合CrCnr.

ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含

k在内。先C后A策略，排列CnrkAkk；组合Cnr.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）

ksksks都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrsCnrAk；组合CrCnr.

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组r均匀分组应再除以Ak. k

244例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10.若分成C8C4/A221575

22224六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C101C91C8 C6C4C2/A22A4

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAm m

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233

例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10C8C55A3

种.

若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有

234

种 C10C8C5A33

③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，

m

其分法种数为A/Ar. rAm

例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为C10C8C4A3 32

A2

244

④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不

mkm21考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为ACmnCn-m1…Cn-(m1m2...mk-1)

235例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C10C8C52520若从10人中3选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C712600.

五、二项式定理.

0n01n1rnrrn0n

abCnabCnabCnab. 1. ⑪二项式定理：(ab)nCn

展开式具有以下特点：

① 项数：共有n1项；

012r,Cn,Cn,,Cn,,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

⑫二项展开式的通项.

rnrr

（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnab(0rn,rZ).

⑬二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．

n

I. 当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大； 2

n1n1

II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第1项，它们的二项式系数

22

n1n1

C2nC2n最大.

n

③系数和：

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01nCnCnCnn2

02413CnCnCnCnCn2n1



附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1

或(Ak为Tk1的系数或系

AAAAk1k1kk

求解. 当a1或b1时，一般采用解不等式组数的绝对值）的办法来求解.

⑭如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r

(ab)nrCr，另一方面在(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn

npqrqnrqqqpq

(ab)nr中含有bq的项为CnrabCnrab，故在(abc)中含abc的项为

rqpqrrCnCnrabc.其系数为CnCnqr

(nr)!n!n!pqr

CnCnpCr.

r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!

2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)n1na，因为这时展开式的

2233nnaCnaCna很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这后面部分Cn

两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

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