10--排列组合

2022-05-23 17:49:38   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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排列,组合,10


高中数学第十章-排列组合二项定理

考试内容:

分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式.

组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求:

1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.

3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单应用问题.

4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.

§10.

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 2. 以有重复元素的排列. ......

m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:m种)

二、排列.

1. ⑪对排列定义的理解.

定义:从n个不同的元素中任取m(mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不......同元素中取出m个元素的一个排列. ⑫相同排列.

如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑬排列数.

n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的

m

一个排列. n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号An表示.

n

⑭排列数公式:

Amn(n1)(nm1)

n!

(mn,n,mN)

(nm)!

注意:nn!(n1)!n! 规定0! = 1

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mmmm1mm110

AnmnAnm 规定CnCnAnn1 1AnAmCnAnmAn1

2. 含有可重元素的排列问题. ......

对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集Sk个不同元素a1a2,…...an其中限重复数为n1n2……nk,且n = n1+n2+……nk , S的排列个数等于n

n!

.

n1!n2!...nk!

例如:已知数字322,求其排列个数n(12)!3又例如:数字555、求其排列

1!2!个数?其排列个数n3!1.

3!

三、组合.

1. ⑪组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取m个元素的一个组合.

m

⑫组合数公式:CmAnn(n1)(nm1)Cm

nnm

Am

m!

n!

m!(nm)!

nmm1mm

⑬两个公式:①CmnCn; CnCnCn1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,

1m1m

分二类,一类是含红球选法有CmnC11Cn一类是不含红球的选法有Cn

②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C

m

m1

n,如果不取这一元素,则需从剩余

n个元素中取出m个元素,所以共有

1mCmCn种,依分类原理有CmnnCn1.

⑭排列与组合的联系与区别.

联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别:前者是排成一排,后者是并成一组,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 012n

CnCnCnnn2

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024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1

kCnC

k

nk1n1



111

CkCknn1

k1n1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:

123n1n111

(利用1

2!3!4!(n1)!(n1)!n!(n1)!n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m1m33334

v. 递推法(即用CmnCnCn1递推)如:C3C4C5CnCn1. 02122nvi. 构造二项式. 如:(Cn )(Cn)(Cnn)C2n

证明:这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中xn的系数,左边为

01n12n2n00212n2

,而右边C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)

n

四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.

③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们局部的排列.它主要用于解决元素相邻问题,例如,一般地,n个不同元素

m1mnm1

排成一列,要求其中某m(mn)个元素必相邻的排列有Annm1Am.其中Anm1是一个

体排列,而Amm则是局部排列”.

22又例如①有n个不同座位,AB两个不能相邻,则有排列法种数为An. An1

1A2

12. ②有n件不同商品,若其中AB排在一起有An

n1A2

21

③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有An. Ann1

注:①③区别在于①是确定的座位,有A2种;而③的商品地位相同,是从n件不同商品任2取的2个,有不确定性.

④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决元素不相邻问题”.

mm

例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?An(插nmAnm1

空法),当n m+1≥m, m≤n1时有意义.

2

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⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采先特殊后一般的解题原则.

⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有Ann种,m(mn)个元素的全排列有Amm种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有

AnnAmm

种排列方法.

例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?

解法一:(逐步插空法)m+1m+2…n = n/ m;解法二:(比例分配法)An/Am. ⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有

nn

CknC(k1)nnCn

nm

Akk

.

C2

例如:从1234中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有43(平均分

2!

组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? P

82C18C210C20/2!



注意:分组与插空综合. 例如:n个元素全排列,其中某m个元素互不相邻且顺序不变,

mmm

共有多少种排法?有An,当n m+1 ≥m, m≤n1时有意义. nmAnm1/Am

2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.

例如:x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412x1,x2,x3,x4是方程的一组解.反之,方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式x1x2x3x4(如图

3所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C11. xa1,a2,...anaixi1

x1x2x3...xnAa11a21...an1A,进而转化为求n1

a的正整数解的个数为CAn .

⑨定位问题:n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,

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r

并且都排在某r个指定位置则有ArrAknr.

例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?

1m111;不在某一位置上:m固定在某一位置上:AmAnm(一类是不取出特殊AnAm1Am1An1n1n1

元素a,有Anm1,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的)

⑩指定元素排列组合问题.

i. n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合)规定某r个元素都包含在

krkrkr 。先CA策略,排列CrrCnrAk;组合CrCnr.

ii. n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含

k在内。先CA策略,排列CnrkAkk;组合Cnr.

iii n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)

ksksks都只包含某r个元素中的s个元素。先CA策略,排列CrsCnrAk;组合CrCnr.

II. 排列组合常见解题策略:

①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;

⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨小集团排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为A/Ar(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有Kr均匀分组应再除以Ak. k

244例:10人分成三组,各组元素个数为244,其分法种数为C10.若分成C8C4/A221575

22224六组,各组人数分别为112222,其分法种数为C101C91C8 C6C4C2/A22A4

②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,分法种数为AAm m

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233

例:10人分成三组,各组人数分别为235去参加不同的劳动,其安排方法为:C10C8C55A3

.

若从10人中选9人分成三组,人数分别为234,参加不同的劳动,则安排方法有

234

C10C8C5A33

③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,

m

其分法种数为A/Ar. rAm

例:10人分成三组,人数分别为244,参加三种不同劳动,分法种数为C10C8C4A3 32

A2

244

④非均匀不编号分组:n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不

mkm21考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为ACmnCn-m1Cn-(m1m2...mk-1)

235例:10人分成三组,每组人数分别为235,其分法种数为C10C8C52520若从10人中3选出6人分成三组,各组人数分别为123,其分法种数为C101C92C712600.

五、二项式定理.

0n01n1rnrrn0n

abCnabCnabCnab. 1. ⑪二项式定理:(ab)nCn

展开式具有以下特点:

项数:共有n1项;

012r,Cn,Cn,,Cn,,Cn 系数:依次为组合数Cnn;

每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.

⑫二项展开式的通项.

rnrr

ab)n展开式中的第r1项为:Tr1Cnab(0rn,rZ).

⑬二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项等距离的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. .....

n

I. n是偶数时,中间项是第1项,它的二项式系数C2n最大; 2

n1n1

II. n是奇数时,中间项为两项,即第项和第1项,它们的二项式系数

22

n1n1

C2nC2n最大.

n

③系数和:

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01nCnCnCnn2

02413CnCnCnCnCn2n1



附:一般来说(axby)n(a,b为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二...........

AkAk1,AkAk1

(AkTk1的系数或系

AAAAk1k1kk

求解. a1b1时,一般采用解不等式组数的绝对值)的办法来求解.

⑭如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢?其中p,q,rN,pqrn

r

(ab)nrCr,另一方面在(abc)n[(ab)c]n视为二项式,先找出含有Cr的项Cn

npqrqnrqqqpq

(ab)nr含有bq的项CnrabCnrab,故(abc)中含abc项为

rqpqrrCnCnrabc.其系数为CnCnqr

(nr)!n!n!pqr

CnCnpCr.

r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!

2. 近似计算的处理方法.

a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式(1a)n1na,因为这时展开式的

2233nnaCnaCna很小,可以忽略不计。类似地,有(1a)n1na但使用这后面部分Cn

两个公式时应注意a的条件,以及对计算精确度的要求.

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