三角形的角平分线

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三角形的角平分线

三角形的角平分线是指从一个角的两边上各取一个点，使得这两条线段分别与这个角的两边相交且相等的情况。这两条线段被称为该角的角平分线。在本文中，我们将详细介绍三角形的角平分线的性质和应用。

一、角平分线的定义及性质

在一个三角形ABC中，如果从角A的两边上各取一个点D和E，使得AD=AE，且线段DE与边BC相交于点F，那么线段DF和EF分别被称为角A的角平分线。角A的角平分线有以下性质：

1. 角平分线将角等分：即角ADF=角ADE=1/2角A。

2. 角平分线平分对应的弧：如果将三角形ABC所对的外接圆记作O，那么角平分线DF和EF将分别平分弧BC所对应的弧。

3. 角平分线互相垂直：即角ADF和角ADE互相垂直。

4. 角平分线所在的直线与三角形对边平行：即DF∥BC和EF∥BC。 二、角平分线的应用

角平分线在几何学中有着广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用场景。

1. 角平分线的作图


在几何作图中，角平分线的作图是一个常见的题型。给定一个三角形ABC和其中一个角A，要求作出角A的角平分线。具体作图步骤如下：

（1）以点A为圆心，任意长度作弧交边BC于点D和点E； （2）以点D为圆心，和点E为半径作圆；以点E为圆心，和点D为半径作圆。这两个圆交于点F；

（3）连接点A和点F，线段AF即为角A的角平分线。 2. 角平分线的性质运用

角平分线的性质在解决几何问题中发挥着重要作用。以下是一个例子：

问题：在三角形ABC中，角B的角平分线交边AC于点D，若AC=8 cm，AD=5 cm，求BC的长度。

解法：根据角平分线的性质，我们可以得知，如果角B的角平分线平分了边AC，那么AB/BC=AD/DC。

代入已知条件，得到AB/BC=5/3。由于AB+BC>AC，所以AB+BC>8。

假设BC=x，则AB=5x/3。

代入AB+BC>8的条件，得到5x/3+x>8，解得x>4/3。

因为x是一个长度，所以x必须大于0，综上所述，BC的长度必须大于4/3（约1.3333）。

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