高数

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3、无穷小的定义与性质。

1）若函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零,则称f(x)当xx0(或x)

时为无穷小量。

注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.

（2）零是常数中唯一的无穷小量。

2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3）函数极限与无穷小的关系：limfxA的充要条件是fxA，其中

xx0

x

A为常

数，是当xx0(或x)时的无穷小。 4、无穷大的定义。

若当xx0(或x)时,f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)当xx0(或

x)时为无穷 大量。

注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。 5、无穷大与无穷小互为倒数。 6、极限的运算法则。

0sinxx3

1。2）因式分解法lim2型：1）用lim。3）分子分母有理化

0xx0x3

x9

法lim

x1

3

x1x1

。




型： 分子分母同除以一个非零因式, 如：lim。 2x2xx3

3x2x1

2

7、两个重要极限。 1）lim

x0

sinx

1 x

x

12）lim1x

x

e以及lim

x0

1xe。

1x

会用重要极限求函数极限。

8、求两个无穷小之比极限时，分子、分母都可用等价无穷小代替。如：lim

x0

sin2x

。 tan3x

注：等价无穷小只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换 9、连续的两种定义。

函数fx在点x0处连续，必须同时满足三个条件： 1) fx在点x0处有定义；

2）limf(x)存在 ；

xx0

3）极限值等于函数值，即limf(x)fx0。

xx0

一阶线性微分方程：

dy

1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

P(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e



dy

2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。

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