高数

2022-05-07 01:07:21   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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高数
3无穷小的定义与性质。

1若函数f(x)xx0(x)时的极限为零,则称f(x)xx0(x)

时为无穷小量。

注:1)无穷小量是个变量而不是个很小的数.

2)零是常数中唯一的无穷小量。

2)无穷小的性质:有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3)函数极限与无穷小的关系:limfxA的充要条件是fxA,其中

xx0

x

A为常

数,是当xx0(x)时的无穷小。 4、无穷大的定义。

若当xx0(x),f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)xx0(

x)时为无穷 大量。

注:无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。 5、无穷大与无穷小互为倒数。 6、极限的运算法则。

0sinxx3

12)因式分解法lim2型:1)用lim3)分子分母有理化

0xx0x3

x9

lim

x1

3

x1x1






型: 分子分母同除以一个非零因式, 如:lim 2x2xx3

3x2x1

2

7、两个重要极限。 1lim

x0

sinx

1 x

x

12lim1x

x

e以及lim

x0

1xe

1x

会用重要极限求函数极限。

8求两个无穷小之比极限时,分子、分母都可用等价无穷小代替。如:lim

x0

sin2x

tan3x

注:等价无穷小只能在乘积和商中进行不能在加减运算中代换 9、连续的两种定义。

函数fx在点x0处连续,必须同时满足三个条件: 1) fx在点x0处有定义;

2limf(x)存在

xx0

3)极限值等于函数值,即limf(x)fx0

xx0

一阶线性微分方程:

dy

1、一阶线性微分方程:P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

Q(x)0,为齐次方程,yCe

P(x)dxP(x)dxQ(x)0时,为非齐次方程,y(Q(x)edxC)e



dy

2、贝努力方程:P(x)yQ(x)yn(n0,1)

dx

全微分方程:

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:P(x,y)Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。


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