【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《基本求导公式》,欢迎阅读!
这是基本求导公式,只能根据导数的定义来求。
导数的定义就是给X一个增Δx,求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限(当Δx→0时)。 函数是 Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n
把(X+Δx)^n展开(按n为正整数),展开式写起来很麻烦,我给你叙述一下,你应能理解。
展开式中,第一项是X^n,最末项是(Δx)^n,中间的项中,X是降幂,Δx是升幂,系数是前后对称,如n=2,系数是1,2,1;n=3,系数是1,3,3,1;等等。注意,n是几,第二项的系数就是几。 只需考虑展开式中的前两项。
第一项是X^n,它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。 第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中,Δx的方次都比1大。
现在来考虑比值ΔY/Δx,前边说过,第一项已消失,第二项除以Δx后为[nX^(n-1)],其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此,当Δx→0取极限时,就只剩下[nX^(n-1)],其后的项都成为0了。 这就是你要证的求导公式。
(顺便说一下,上述是以n为正整数来证明的,n为任意实数时也是成立的。)
(X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦,只是在这里写起来,为避免误会,需加的括号太多,就显得麻烦了。
第一项系数是1,第二项系数是n, 第三项系数是 [n(n-1)]/(1*2)
10~12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'=secx*tanx。
(secx)'=(1/cosx)'=-(cosx)'/(cosx)^2=sinx/(cosx)^2=secx*tanx
13~16是利用反函数的求导法则:y=f(x)的反函数是x=g(y),则dx/dy=1/(dy/dx)。
如(arcsinx)'=1/√(1-x^2)。
y=arcsinx的反函数是x=siny。已知dx/dy=(siny)'=cosy=√(1-x^2)。 所以dy/dx=1/(dx/dy)=1/√(1-x^2)。即(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
f(x)=c, 则f '(x)=0
f(x)=x^n,则f '(x)=nx^n-1 f(x)=sinx,则f '(x)=cosx f(x)=cosx,则f '(x)=-sinx
f(x)=a^x,则f '(x)=a^xlna(a>0) f(x)=e^x,则f '(x)=e^x
f(x)=logax,则f '(x)=1/xlna(a>0且a不等于1)
f(x)=lnx,则f '(x)=1/x
四、基本求导法则与导数公式
1. 基本初等函数的导数公式和求导法则
基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作用,我们必须熟练的掌握它,为了便于查阅,我们把这些导数公式和求导法则归纳如下:
基本初等函数求导公式
(1) (C)0 (3) (sinx)cosx
(5)
(tanx)sec2
x (7) (secx)secxtanx
(9)
(ax)ax
lna (logx)
1
(11)
axlna
(arcsinx)
1 (13)
1x2 (arctanx)
1 (15)
1x2
函数的和、差、积、商的求导法则 设uu(x),vv(x)都可导,则 (1) (uv)uv (3) (uv)uvuv
反函数求导法则
(x)x1
(cosx)sinx
(cotx)csc2x (cscx)cscxcotx
(ex
)ex
(lnx)
1x,
(arccosx)
11x2 (arccotx)
11x2
2) (Cu)Cu(C是常数)
u
uvuv4) vv2
(2) (4) (6)
(8) (10) (12)
(14)
(16)
( (
本文来源:https://www.wddqxz.cn/cc651a47650e52ea5518987a.html