等比数列通项的性质及应用

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等比数列通项的性质及应用

一．知识整理 1.等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an:an1q(q0) 2.等比数列的通项公式 通项公式为an

a1qn1

3.等比数列的通项公式推广：anamqnm 4．等比数列{an}的常用性质

(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N)，则am·an＝ap·aq＝ar. 特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….

(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋

3k

*

2

，…仍是等比数列，公比为q；

k

一、等比数列通项的性质及应用

1.在等比数列中，若a66,a99，则a3.【解答】.4 2.等比数列an中，a1a230，a3a460，则a7a8 ．【解答】240

3.｛an｝是公比为2的等比数列，且a1a4a7a28=100，则

a3a6a9a30等于．【解答】400


4.等比数列an中，an0a3•a632，则log2a1log2a2log2a8=

变式1等比数列an，a1a2a35,a7a8a910,则a4a5a6____________ 变式2已知等比数列an各项为正数，且3是

a3和a6的等比中项，则a1a2a3a10=__________________

5.在等差数列an中，若a100， 则有等式a1a2an

a1a2a19nn19,nN

成立。类比上

列性质，相应的：在等比数列bn中，若b91，则有等式_______________成立。 【解答】b1b2bn

b1b2b17nn17,nN





6.已知nN，各项为正的等差数列an满足a2a621,a3a510，又数列lgbn的前n项和是Snnn1lg31nn1．

2

（1）求数列an的通项公式； （2）求证数列bn是等比数列；

（3）设cnanbn，试问数列cn有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。 【解答】（1）a2a6a3a510，又

a23a27

或 a7a366

a2a621

若

a27

a63

，则an9n，a101与an0矛盾；

a23若，则ann1，显然an0，ann1

a76

（2）lgb1S12lg3,b19，

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