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等比数列通项的性质及应用
一.知识整理 1.等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:an:an1q(q0) 2.等比数列的通项公式 通项公式为an
a1qn1
3.等比数列的通项公式推广:anamqnm 4.等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N),则am·an=ap·aq=ar. 特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=….
(2)在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+
3k
*
2
,…仍是等比数列,公比为q;
k
一、等比数列通项的性质及应用
1.在等比数列中,若a66,a99,则a3.【解答】.4 2.等比数列an中,a1a230,a3a460,则a7a8 .【解答】240
3.{an}是公比为2的等比数列,且a1a4a7a28=100,则
a3a6a9a30等于.【解答】400
4.等比数列an中,an0a3•a632,则log2a1log2a2log2a8=
变式1等比数列an,a1a2a35,a7a8a910,则a4a5a6____________ 变式2已知等比数列an各项为正数,且3是
a3和a6的等比中项,则a1a2a3a10=__________________
5.在等差数列an中,若a100, 则有等式a1a2an
a1a2a19nn19,nN
成立。类比上
列性质,相应的:在等比数列bn中,若b91,则有等式_______________成立。 【解答】b1b2bn
b1b2b17nn17,nN
6.已知nN,各项为正的等差数列an满足a2a621,a3a510,又数列lgbn的前n项和是Snnn1lg31nn1.
2
(1)求数列an的通项公式; (2)求证数列bn是等比数列;
(3)设cnanbn,试问数列cn有没有最大项?如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。 【解答】(1)a2a6a3a510,又
a23a27
或 a7a366
a2a621
若
a27
a63
,则an9n,a101与an0矛盾;
a23若,则ann1,显然an0,ann1
a76
(2)lgb1S12lg3,b19,
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