2021年硕士研究生招生考试初试考试大纲

2022-04-07 10:04:24   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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2021年硕士研究生招生考试初试考试大纲



科目代码:601 科目名称:高等代数 适用专业:数学类各专业 考试时间:3小时 考试方式:笔试 分:150 考试范围: 一、多项式

1.多项式的带余除法及整除性;

2.多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式; 3. 不可约多项式的判定和性质; 4.多项式函数与多项式的根;

5. 复系数与实系数多项式的因式分解,有理系数多项式。 二、行列式

1.行列式的定义及性质; 2. 行列式按一行(列)展开;

3.运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。 三、 线性方程组 1.线性方程组的求解和讨论; 2.线性方程组有解的判别定理;

3.线性方程组解的结构及其解空间的讨论。 四、 矩阵

1.矩阵的基本运算、矩阵的分块; 2.矩阵的初等变换、初等矩阵; 3. 矩阵的等价、合同、正交相似; 4.逆矩阵、伴随矩阵及其性质; 5.矩阵的秩,矩阵乘积的行列式与秩; 6. 运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵; 7. 矩阵的特征值与特征向量,对角化矩阵。 五、 二次型

1.二次型及其矩阵表示;

2.实数域和复数域上二次型的标准形与规范形; 3.正定二次型及其讨论。


六、 线性空间

1.线性空间、子空间的定义与性质; 2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组;

3. 线性空间的基、维数、向量关于基的坐标,基变换与坐标变换; 4. 生成子空间,子空间的交,子空间的和与直和、维数公式。 七、 线性变换

1.线性变换的定义、性质与运算; 2. 线性变换的矩阵表示; 3.线性变换的核、值域的概念;

4. 线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间;

5.线性变换的不变子空间。 八、 欧式空间

1.内积与欧氏空间的定义及性质,向量的长度、夹角、距离,正交矩阵; 2. 正交子空间与正交补;

3欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化方法; 4.实对称矩阵的正交相似对角化的求法。



一、15分)证明:如果(x2x1)f1(x3)xf2(x3)那么(x1)f1(x),(x1)f2(x).

abca

二、15分)计算n阶行列式:Dn

bbbb

.

c

cccabca

三、15分,第1小题5分,第2小题10分)

x1x2x3x41



已知非齐次线性方程组4x13x25x3x413个线性无关解.

axx3xbx1

3412

1)证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)2 2)求a,b的值及方程组的通解.

15ATnT1

BEAA2An是可逆矩阵,并求B1.


五、15分,每小题各5分)

V是数域P上的一个n维线性空间,1,2,nV的一组基,用V1表示由

n

12n生成的线性子空间,令V2kii

i1

k0,kP. iii1

n

1)证明V2V的子空间;(2)证明VV1V2

3)设V上的一个线性变换A在基1,2,n下的矩阵A是置换矩阵(即A的每一行每一列都只有一个元素是1,其余元素为0),证明V1V2A的不变子空间.

六、15分,第1小题5分,第2小题10分)

22

x32x1x22x1x32bx2x3f(x1,x2,x3)x12ax2

XQY化为标准形f3y12. 1)写出这个二次型的秩,正、负惯性指数及符

号差;(2)求参数a,b的值和正交矩阵Q.

七、(15分)设A是正定矩阵,B是实可逆反对陈矩阵,证明AB2是正定矩.

(x1,x2,x3)(2x2,x1x3,x2). 八、15分,每小题各5分)P3中,设线性变换1)求在基1(1,0,2)2(0,1,1)3(3,1,0)下的矩阵; 2)设(1,2,5),求()在基1,2,3下的坐标; 3)求的值域与核.

九、15分)APnn证明A24A5E的充要条件是r(A5E)r(AE)n.

1,2,,s1,2,,t十、15分)V1,V2是欧氏空间V的子空间且V1V21,2,,s,1,2,,t是线性无关的. 分别是V1V2中线性无关的向量,证明:



参考书目

北京大学数学系前代数小组. 高等代数. 高等教育出版社,20195. 5.




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