概率论与数理统计总结之第三章

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第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量：

一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。

设（X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：

F(x,y)P{(Xx)(Yy)}P(Xx,Yy)

称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称随机变量X和Y的联合分布函数

分布函数F(x,y)具有以下基本性质： 1.F（x,y)是变量x和变量y的不减函数，

即对于任意固定的y，当x2x1,F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x，当y2y1,F(x,y2)F(x,y1) 2.0≤F(x,y)≤1，且

对于任意固定的y，F（-∞，y)=0, 对于任意固定的x, F（x，-∞)=0， F（-∞，-∞）=0，F（∞，∞）=1

3.F(x,y）=F(x+0,y），F(x,y+0），即F(x,y）关于x右连续，关于y也右连续 4.对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2,下述不等式成立 F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2)0


离散型随机变量：

如果二维随机变量（X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y）是离散型随机变量

称P{Xxi,Yyi}pij,i,j1,2,……为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律，或随机变量X和Y是联合分布律 表格形式表示联合分布律： Y X

y1

x1

… …

xi

… …

p11 pi1

………

…

离散型随机变量X和Y的联合分布函数为

F(x,y)pij，其中和式是对一切满足xix,yiy的i,j来求和的

xixyiy



yj

…



p1j



pij

…

…

…









连续型随机变量：

对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对于任意x,y有 F(x,y)

y



x

f(u,v)dudv，则称（X,Y）是连续型的二维随机

变量，函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度


概率密度的性质： 1.f(x,y)≥0 2.







f(x,y)dxdyF(,)1

3.设G是xOy平面上的区域，点（X,Y）落在G内的概率为 P{(X,Y)G}f(x,y)dxdy

G

4.若f(x,y)在点（x,y）连续，则有

2F(x,y) f(x,y)

xy

一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设X1X1(e),X2X2(e),…

,XnXn(e),是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2,…,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量

对于任意n个实数x1,x2,^,xn,n元函数F(x1,^,xn)P{X1x1,^,Xnxn}称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数或随机变量X1,X2,^,Xn的联合分布函数。 边缘分布

二维随机变量（X,Y)作为一个整体，具有分布函数F（x,y)。而X和Y都是随机变量，各别也有分布函数，将它们分别记为FX(x),FY(y)，依次称为二维随机变量（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数

边缘分布函数可以由（X,Y）的分布函数F（x,y)所确定：

Fx(x)P{Xx}P{Xx,Y}F(X,),即FX(x)F(x,)， 同理得，FY(y)F(,y)


对于离散型随机变量，有

FX(x)F(x,)pij

xjxj1



pi=P{Xxi}pij,i1,2,…

j1



pj=P{Yyj}pij,j1,2,…

i1

分别称为（X,Y)关于X和关于Y边缘分布律

对于连续型随机变量（X,Y），设它的概率密度为f(x,y），有



FX(x)F(x,)f(x,y)dydx



x

有X的概率密度：

fX(x)f(x,y)dy



同理，

fY(y)f(x,y)dxP{Yyj



分别称fX(x),fY(y)为（X,Y）关于X和关于Y的边缘概率密度

条件分布：

设（X,Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Yyj}0，则称

P{Xxi｜Yyj}

P{Xxi,Yyj}P{Yyj}



pijpj

,i1,2,…

为在Yyj条件下随机变量X的条件分布律 同样地，

若P{Xxi}0,则称P{Yyj｜Xxi}

P{Xxi,Yyj}P{Xxi}



pijpi

,j1,2,…


为Xxi条件下随机变量Y的条件分布律

设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固定的y,fY(y)0,则称

f(x,y)

fY(y)

x

f(x,y)

为在Y=y的条件下X的条件概率密度，fY(y)

记为fX|Y(x|y)

x

称fX|Y(x|y)dx





f(x,y)

dx为在Y=y的条件下，X的条件分布函数，记为fY(y)

x

P{X≤x|Y=y}或FX|Y(x|y)，即FX|Y(x|y)P{Xx|Yy}



f(x,y)

dx fY(y)

设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量（X,Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},即F(x,y)FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的

设（X,Y）是连续型随机变量，f(x,y),fX(x),fY(y)分别为（X,Y）的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件等价于f(x,y)fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立（除去面积为0的集合以外，处处成立） 定理：

设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互独立（即F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…，则Xi(i1,2,…,m)和Yj(j1,2,…,n)相互独,yn)F1(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)）

立。又若h,g是连续函数，则h(X1,X2,…,Xm)和g(Y1,Y2,…Yn)相互独立。

两个随机变量的函数的分布：


1.Z=X+Y的分布

设（X,Y）的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为

FZ(z)P{Zz}

xyz

f(x,y)dxdy

这里的积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z及其左下方的半平面

FZ(z)P{Zz}



zy

xyz

f(x,y)dxdy

=[





f(x,y)dx]dy

令x=u-y，得

FZ(z)





z

f(uy,y)dudy[f(uy,y)dy]du





z

于是有Z的概率密度为

fZ(z)f(zy,y)dy



由X,Y的对称性，得

fZ(z)f(x,zx)dx



卷积分公式（记为fXfY)：

fXfY=fX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zx)dx











有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布

2.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y) 1）M=max(X,Y)

Fma(Yz}， xz)P{Mz}P{Xz,Yz}P{Xz}P{ 即Fmax(z)FX(z)FY(z)


2）N=min(X,Y)

Fmi(nz)P{Nz}1P{NZ}1P{XZ,Yz}=1P{Xz}P{Yz}, 即Fmin(z)1[1FX(z)][1FY(z)]

一般地，设X1,X2,^,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为

X1,X2,^,Xn)及Nmin(X1,X2,^Xn)的分布函FXi(xi)(i1,2,^,n)，则Mmax(数分别为

Fma(xz)FX1(z)FX2(z)…FXn(z)，

Fmin(z)1[1FX1(z)][1FX2(z)]…[1FXn(z)]

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