【高中数学】数学中的皇冠――数论

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【高中数学】数学中的皇冠――数论

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。

对于整数，有四种运算：加法、减法、乘法和除法，它们被称为四种算术运算。其中，加法、减法和乘法可以在整数范围内无障碍地进行。换句话说，当任意两个或两个以上的整数相加、相减和相乘时，它们的和、差和积仍然是一个整数。然而，整数之间的除法可能无法在整数范围内畅通无阻地进行。

人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类―奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

数论的学科始于对整数的研究，因此被称为整数论。后来，整数理论得到进一步发展，称为数论。确切地说，数论是一门研究整数性质的学科。 数论的发展简况

自古以来，数学家就非常重视整数性质的研究，但直到19世纪，这些研究成果才记录在各个时期的算术著作中，也就是说，还没有形成一个完整统一的学科。

自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题──整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。

在对整数性质的研究中，人们发现素数是正整数的基本“材料”。为了深入研究整数的性质，我们必须研究素数的性质。因此，素数的性质问题一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在算术讨论中，高斯对过去研究整数性质所用的符号进行了标准化，对当时已有的定理进行了系统化和推广，对要研究的问题和方法进行了分类，并引入了新的方法。 数论的基本内容


数论形成独立学科后，随着数学其他分支的发展，数论的研究方法也在发展。根据研究方法，它可以分为四个部分：初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。

初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。 解析数论是利用数学分析作为工具来解决数论问题的一个分支。数学分析是以函数为研究对象，建立在极限概念基础上的一门数学学科。欧拉为数学分析解决数论问题奠定了基础，俄罗斯数学家切比雪夫也为其发展做出了贡献。解析数论是解决数论难题的有力工具。例如，对于“素数有无穷多个”的命题，欧拉利用数学分析中关于无穷级数的一些知识，给出了解析方法的证明。20世纪30年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性地提出了“三角和法”，在解决一些数论问题中发挥了重要作用。中国数学家陈景润也用解析数论的方法解决了“哥德巴赫猜想”的问题。

代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。

几何数论是由德国数学家和物理学家闵可夫斯基创立的。几何数论的基本目标是“空间网格”。什么是空间网格？在给定的直角坐标系中，坐标均为整数的点称为积分点；由所有积分点组成的组称为空间网格。空间网格对几何学和结晶学具有重要意义。由于几何数理论所涉及的问题相对复杂，必须对其进行深入的研究，必须有相当的数学基础。 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。

由于现代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。例如，初等数论范围内的许多研究成果被广泛应用于计算方法、代数编码、组合理论等领域；另据报道，一些国家现在将“孙子定理”应用于测距，并使用原始根和索引计算离散傅里叶变换。此外，数论的许多深入研究成果也被应用于近似分析、差集、快速变换等领域。特别是现在，由于计算机的发展，用离散量的计算来逼近连续量以达到所需的精度成为可能。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、哥德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……

在现代中国，数论也是最早的数学分支之一。自20世纪30年代以来，他在数论、刁凡都方程和均匀分布的分析方面做出了重要贡献。出现了华罗庚、闵思和、赵科等一流数论专家。其中，华罗庚教授以其对三角学、赋值和叠加素数理论的研究而闻名。1949年以后，数论的研究有了很大的发展。特别是在“筛法”和“哥德巴赫猜想”的研究方面，在国际上取得了突出的成就。

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