二项式定理.版块六.二项式定理的应用3近似计算或估计.学生版

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近似计算或者估计

知识内容





1．二项式定理

⑴二项式定理

ab

n

0n1n12n22nnCnaCnabCnab...CnbnN

这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项

r0n1n12n22nn

CnaCnabCnab...Cnb叫做ab的二项展开式，其中的系数Cnr0,1,2,...,n叫做二项式系

n

rnrrrnrr

ab叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项为展开式的第r1项：Tr1Cnab． 数，式中的Cn

⑶二项式展开式的各项幂指数

二项式ab的展开式项数为n1项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n．

②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n． ⑷几点注意

rnrr

ab是ab的展开式的第r1项，这里r0,1,2,...,n． ①通项Tr1Cn

n

n

rnrr

ba是有区别的，②二项式ab的r1项和ba的展开式的第r1项Cn应用二项式定理时，其中的a和

nn

b是不能随便交换的．

③注意二项式系数（Cnr）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．

rnrr

ab（只须④通项公式是ab这个标准形式下而言的，如ab的二项展开式的通项公式是Tr11Cn

n

n

r

rnrr

ab是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是Cnr，但把b看成b代入二项式定理）这与Tr1Cn

项的系数一个是1Cnr，一个是Cnr，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．

122rrxCnx...Cnx...xn． ⑤设a1,bx，则得公式：1x1Cn

n

r

rnrr

abr0,1,2,...,n中含有Tr1,a,b,n,r五个元素， ⑥通项是Tr1Cn




只要知道其中四个即可求第五个元素．

⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n的近似值．

2．二项式系数的性质

⑴杨辉三角形：

对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．

杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：

ab

n

012n

展开式的二项式系数是：Cn，从函数的角度看Cnr可以看成是r为自变量的函数fr，,Cn,Cn,...,Cn

其定义域是：0,1,2,3,...,n． 当n6时，fr的图象为下图：



这样我们利用“杨辉三角”和n6时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

mnm

Cn事实上，这一性质可直接由公式Cn得到．

②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 n2nn101

， Cn1,Cn,Cn

112

nn1n23

，．．．， Cn

123

k1Cn

nn1n2...nk2

123....k1

k

，Cn

nn1n2...nk2nk1

123...k1k

，．．．，

n

Cn1．




其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n,n1,n2,...），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，Cnr的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n是偶数时，n1是奇数，展开式共有n1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为C．

当n是奇数时，n1是偶数，展开式共有n1项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为C

n12n

n2n

C

n12n

．

012rnCnCn...Cn...Cn2n． ③二项式系数的和为2n，即Cn

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

024135

CnCnCn...CnCnCn...2n1．

常见题型有：

求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

典例分析



二项式定理的应用3近似计算或估计

5



【例1】 计算0.997的近似值（精确到0.001）．

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