2020年复旦附中自主招生考试数学训练一

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2020年自主招生模拟测试





一、填空题（5840分）

3x13y12

1、方程组的解是

xy26

2、若对任意实数x不等式axb都成立，那么a、b的取值范围为

1

xx2的最大值与最小值之差为 236

4、两个反比例函数y，y在第一象限内的图象点P1、P2、P3、…、P2007在反

xx6

比例函数y上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1、

x

3、5…共2007个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与

3''

,y2007)，则y的图象交点依次为Q1(x1',y1')、Q2(x2',y2')、…、Q2007(x2007

x

P2007Q2007

5、如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A

3、设1x2，则x2

点的最短的路线长是

6、有一张矩形纸片ABCD，AD9，AB12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是 7、已知3、a、4、b、5这五个数据，其中a、b是方程x3x20的两个根，则这五个数据的标

准差是

8、若抛物线y2xpx4p1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 二、选择题（5840分）

9、如图，ABC中，D、E是BC边上的点，BD:DE:EC3:2:1，M在

2

2

AC边上，CM:MA1:2，BM交AD、AE于H、G，则BH:HG:GM等于 ( )

A、3:2:1 B、5:3:1 C、25:12:5 D、51:24:10

10、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )

rrrrA、 B、 C、 D、2 2

c2r2crcrcr

2

11、抛物线yax与直线x1，x2，y1，y2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是

( )

1111

a1 B、a2 C、a1 D、a2 4224

12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购

铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需

A、( )

A、1.2元 B、1.05元 C、0.95元 D、0.9元

1


13、设关于x的方程ax(a2)x9a0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x11x2，那么实数

2

a的取值范围是 ( )

22222 B、a C、a D、a0 1175511

14、如图，正方形ABCD的边AB1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积

A、a之差是 ( )



1 B、1 C、1 D、1 2436

15、已知锐角三角形的边长是2、3、x，那么第三边x的取值范围是

A、( )

A、1x

5 B、5x13 C、13x5 D、5x15

16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了

x%，则第三季度的产值比第一季度增长了 （ ） A、2x% B、12x% C、(1x%)•x% D、(2x%)•x%

三、解答题

17、（15分）设m是不小于1的实数，关于x的方程x2(m2)xm3m30有两个不相等的

实数根x1、x2，（1）若x1x2

2

2

22

mx1mx2

6，求mr 值；（2）求的最大值。 

1x11x2

22



2

18、（15分）如图，开口向下的抛物线yax8ax12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C

在第一象限，且使OCA∽OBC，（1）求OC的长及点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式。

2

BC

的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，AC


19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）

生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表

家电名称 工 时 产值（千元）

空调

彩电

冰箱

1

2

4

1 33

1 4

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 20、（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有

一个男孩的概率。 21、（15分）如图，已知⊙O和⊙O'相交于A、B两点，过点A作⊙O'的切线交⊙O于点C，过点B作

两圆的割线分别交⊙O、⊙O'于E、F，EF与AC相交于点P，（1）求证：PA•PEPC•PF；

PE2PF

（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O'为等圆时，且PC:CE:EP3:4:5时，求PEC与2

PBPC

FAP的面积的比值。



3

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