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函数单调性的常用判断方法及应用
湖北麻城：阮 晓 锋
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？
判断函数单调性的常用方法有：
⑴利yizhi用增（减）函数的定义进行判断； ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例)； ⑶利用图象进行判断；
⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断（含一次函数，二次函数，指数函数， 对数函数，幂函数，三角函数）； ⑸利用一些重要结论进行判断：
①若f(x)在区间D上是增（或减）函数，则它在D的任意子区间上也是增(减)函数； ②f(x)+C与f(x)具有相同的单调性（C为常数）；
③当C>0（或C<0）时，Cf(x)与f(x)具有相同（或相反）的单调性（C为常数）； ④若f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)也有相同的单调性；若f(x)与g(x) 的单调性相反，则f(x)-g(x)与f(x)的单调性相同,与g(x)的单调性相反。 ⑤由两个函数组成的复合函数的单调性的判断规律为“同增异减”；
⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 ⑴若函数f(x)=a
x
2
x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为_____;
2x1,x0,2
⑵已知函数f(x),则不等式f(1-x)>f(2x)的取值范围为_____。
1 , x0
解：⑴填[0，+∞），理由如下
①当a=0时显然符合题设要求；
1
，+∞上单调递减，不可能符合题意； 2a1
③当a>0时，由二次函数单调性知它在[-，+∞）上单调递增 2a
1
则得（0，+∞）[-，+∞） 2a
1
∴得-≤0且a>0解之得a>0 2a
②当a<0时，由二次函数单调性知它在[- 综上知：a的取值范围为[0，+∞）。
⑵先画出f(x)的图象，由图象知f(x)在[0，+∞）上单调递增，且当x0时f(x)=0er
22
1-x01-x2x
或 从而得解之得<-1x≤0或02-1j即-12-1
2x02x0
故本题应填（-1，2-1）
例2：已知函数f(x)=
x x-a
⑴若a=-2，试证：f(x)在(-∞,-2)内单调递增；
⑵若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减，求a的取值范围。 解：⑴若a=-2,则f(x)= 任取
x x2
x，x
11
2є(-∞,-2)，且使得
x<x
1
2,则有
x+2<x
1
2+2<0
且
x-x
1
2<0
f(
x)-f(x
2)=
x12
x
1
-
x22
x
2
(x12)(x22)
2(x1-x2)
<0即 f(
x)x
1
2)
故f(x)在(-∞,-2)内单调递增。
xa1知f(x)在（a,+∞)内单调递减 x-ax-a
依题意得a>0且(1,+∞)（a,+∞)
⑵若a>0,则由f(x)=
a0 解之得0≤1
a1
故此时a的取值范围为(0,1]. 例3：是否存在实数a，使得f(x)
log
a
(ax-2x)在区间上是增函数？若存在，求出a
的取值范围；若不存在，试说明理由。
解：由ax-2x>0得x>
4
a
2
,故原函数的定义域为（
4
a
2
，+∞）。
令t=ax-2x,xє（
4
a
2
，+∞），则y=f(X)=
2
log
2
a
t
∵t=ax-2x=a
1-1
（x-）
aa
a
2
在xє（
4
a
，+∞）上单调递增
∴依题意得y=
log
4
t为增函数且t>0对xє（
4
a
2
，+∞）恒成立
a1
4a-22
a
a
2
0，解之得a>1
故a的取值范围为(1,+∞).
练习题：
（3a-1)x4a,x1,题1：已知f（x）=是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围
x,x1loga
是（ ）
A,（0,1） B.（0,1/3） C.[1/7,1/3） D.（1/7,1） 题2：⑴若y=
log
a
(2-ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为_____;
⑵若函数f(x)=题3：设f(x)=
ax2
在(-2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为_____. x2
x
2
-2ax+2,当xє(-1,+∞)时f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围。
题4：设函数的定义域为R，当x>0时f(x)>0，且对任意的x,yєR有f(x+y)=f(x)f(y)，试 解不等式f(x)≤
1
.
f(x1)
题5：已知函数
f(x)
x
2
2xax
，xє[1,+∞)
⑴当a=1/2时，求函数f（x）的最小值；
⑵若对任意xє[1,+∞),f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围。 附答案提示：
题1：选C 题2：⑴(1,2);⑵(1，+∞) 题3：
f
2
2-a,a-1,
(x)min可得aє[-3,1]
2a3,a1,
题4：f(o)=1,f(X)>0恒成立且f(x)在R上单调递增，可求得解集为（-∞，-
题5：⑴当a=1/2时，f（X）在[1，+∞）上的最小值为f（1）= ⑵a的取值范围为（-3，+∞）
1] 2
7 2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/c6047a59a717866fb84ae45c3b3567ec102ddc04.html
2022-04-25
