函数单调性的常用判断方法及应用

2022-04-25 05:30:08   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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函数单调性的常用判断方法及应用

湖北麻城:阮

单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常利用它求函数的值域,进而求题中字母或参数的取值范围。那么,有哪些常用的判断函数单调性方法呢?

判断函数单调性的常用方法有:

⑴利yizhi用增(减)函数的定义进行判断; ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例) ⑶利用图象进行判断;

⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断(含一次函数,二次函数,指数函数, 对数函数,幂函数,三角函数) ⑸利用一些重要结论进行判断:

①若f(x)在区间D上是增(或减)函数,则它在D的任意子区间上也是增()函数; f(x)+Cf(x)具有相同的单调性(C为常数)

③当C>0(或C<0)时,Cf(x)f(x)具有相同(或相反)的单调性(C为常数) ④若f(x)g(x)的单调性相同,则f(x)+g(x)也有相同的单调性;若f(x)g(x) 的单调性相反,则f(x)-g(x)f(x)的单调性相同,g(x)的单调性相反。 ⑤由两个函数组成的复合函数的单调性的判断规律为“同增异减”

⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同,而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 1 ⑴若函数f(x)=a

x

2

x在(0+∞)上单调递增,则a的取值范围为_____;

2x1,x0,2

⑵已知函数f(x),则不等式f(1-x)>f(2x)的取值范围为_____

1 , x0

解:⑴填[0+∞),理由如下

①当a=0时显然符合题设要求;

1

+∞上单调递减,不可能符合题意; 2a1

③当a>0时,由二次函数单调性知它在[-+∞)上单调递增 2a

1

则得(0+∞)[-+∞) 2a

1

∴得-0a>0解之得a>0 2a

②当a<0时,由二次函数单调性知它在[- 综上知:a的取值范围为[0+∞)

⑵先画出f(x)的图象,由图象知f(x)[0+∞)上单调递增,且当x0f(x)=0er

22

1-x01-x2x

从而得解之得<-1x002-1j-12-1

2x02x0


故本题应填(-12-1

2:已知函数f(x)=

x x-a

⑴若a=-2,试证:f(x)(-,-2)内单调递增;

⑵若a>0f(x)(1,+)内单调递减,求a的取值范围。 解:⑴若a=-2,f(x)= 任取

x x2

xx

11

2є(-,-2),且使得

x<x

1

2,则有

x+2<x

1

2+2<0



x-x

1

2<0

f(

x)-f(x

2)=

x12

x

1

-

x22

x

2



(x12)(x22)

2(x1-x2)

<0 f(

x)x

1

2)

f(x)(-,-2)内单调递增。

xa1f(x)在(a,+)内单调递减 x-ax-a

依题意得a>0(1,+)a,+)

⑵若a>0,则由f(x)=

a0 解之得01

a1

故此时a的取值范围为(0,1]. 3是否存在实数a,使得f(x)

log

a

(ax-2x)在区间上是增函数?若存在,求出a

的取值范围;若不存在,试说明理由。



解:由ax-2x>0x>

4

a

2

,故原函数的定义域为(

4

a

2

+∞)

t=ax-2x,xє

4

a

2

+∞),则y=f(X)=

2

log

2

a

t

t=ax-2x=a

1-1

x-

aa

a

2

xє

4

a

+∞)上单调递增

∴依题意得y=

log

4

t为增函数且t>0xє

4

a

2

+∞)恒成立

a1

4a-22

a

a

2

0,解之得a>1

a的取值范围为(1,+).

练习题:


3a-1)x4a,x1,1:已知fx=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围

x,x1loga

是(

A,0,1 B.0,1/3 C.[1/7,1/3 D.1/7,1 2:⑴若y=

log

a

(2-ax)[0,1]上单调递减,则a的取值范围为_____;

⑵若函数f(x)=3:设f(x)=

ax2

(-2,+)上单调递增,则实数a的取值范围为_____. x2

x

2

-2ax+2,xє(-1,+)f(x)a恒成立,求实数a的取值范围。

4:设函数的定义域为R,当x>0f(x)>0,且对任意的x,yєRf(x+y)=f(x)f(y),试 解不等式f(x)

1

.

f(x1)

5:已知函数

f(x)

x

2

2xax

xє[1,+)

⑴当a=1/2时,求函数fx)的最小值;

⑵若对任意xє[1,+),fx>0恒成立,试求实数a的取值范围。 附答案提示:

1C 2(1,2);(1+) 3

f

2

2-a,a-1,

(x)min可得aє[-3,1]

2a3,a1,

4f(o)=1,f(X)>0恒成立且f(x)R上单调递增,可求得解集为(-∞,-

5:⑴当a=1/2时,fX)在[1+∞)上的最小值为f1= a的取值范围为(-3+∞)



1] 2

7 2


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