第02讲自主招生数学试题的来源

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第02讲:自主招生数学试题的来源 1

第02讲:自主招生数学试题的来源

杨老师专论

〔 号码：2078159； 号码：13965261699〕

面对自主招生考试,人们最关心的问题有:1.考什么？对这个问题我们在第一讲中已给出了一定的探索;2.怎样考？本讲通过探索冲动人心的课题,即自主招生数学试题的来源,继续研究第一个问题,并兼顾研究第二个问题.

1.引用于数学典题:自主招生考试基于命题的“自主性〞,使其命题更具“自由性〞,能引用中学数学的典型问题,

更能有效地考察数学的根本功.

[例1]:(2005年上海交通大学保送生考试试题)假设y=[解析]:



ax28xbx21

的最大值为9,最小值为1,求满足条件的实数a,b.

[练习1]:

1.(2020年上海交通大学保送生考试试题)函数y=

x1x28

的最大值为 .

2.(2003年同济大学保送生考试数学试题)不等式log2

2x22kxk3x26x4

<0对于任意x∈R都成立,求k的取值范围.

[例2]:(2003年同济大学保送生考试数学试题)y=

(Ⅰ)求y的最小值; (Ⅱ)求y取得最小值时的θ.

sincos

(θ∈[0,2π)).

2sincos

[解析]:



[练习2]:

1.(2005年复旦大学保送生考试试题)y=2.(2020年重庆高考试题)函数f(x)=

1sinx

的最大值是 .

2cosx

sinx132cosx2sinx

(0≤x≤2π)的值域为( )

(A)[2,0] (B)[-1,0] (C)[-2,0] (D)[-3,0]

2

[例3]:(2006年上海交通大学保送生考试试题)a,b,cR,abc0,bc,a(bc)x2b(ca)xc(ab)0有两个相等根,求证:


111

,,成等差数列. abc

[解析]:



[练习3]:

1.(1979年全国高考试题)假设(z-x)-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.

2

2.(1980年全国高考付题)在△ABC中,sin

2

A2B2C2B+sin+sin=cos证明: 2222

2 第02讲:自主招生数学试题的来源

(Ⅰ)tan(Ⅱ)cot

AC

,tan,tan成等比数列; 262ABC

,cot,cot成等差数列. 222

2.选自于高考试题:自主招生考试必须有别于高考,且高于高考,但不能排除自主招生考试选用高考试题的可能性,

高考中灵活且优秀试题具有较好的选拔功能.

[例4]:①(2007年天津高考试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.

(Ⅰ)求数列{an}的前n项和Sn;

(Ⅱ)证明;不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.

②(2020年武汉大学保送生考试试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (Ⅰ)求证:数列{an-n}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.

[解析]:



[练习4]:

1.①(2002年上海交通大学保送生考试试题)假设3=4=6,那么

a

b

c

+

a

b

c

111

+-= . a2bc

②(1993年全国高考题)设a、b、c∈R,且3=4=6,那么( ) (A)

111122212221 (B) (C) (D) cabcabcabcab

2

2

2.①(2020年“北约〞自主招生数学试题)己知方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为n|.

②(2003年新课程高考试题)己知方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为

2

2

1

的等差数列,求|m-4

1

的等差数列,那么|m-n|=( ) 4

(A)1 (B)

313 (C) (D) 428


[例5]:①(2007年天津高考试题)设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.

(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值;

(Ⅲ)当a>3时,证明:存在k∈[-1,0],使得不等式f(k-cosx)≥f(k-cosx),对任意的x∈R恒成立.

②(2020年华南理工大学自主招生数学试题)函数f(x)是定义在[-4,+∞)的单调增函数,要使得对于定义域内的一切实数x,不等式f(cosx-b)≥f(sinx-b-3)恒成立,求实数b的取值范围.

2

2

2

2

[解析]:



[练习5]:

1.①(2006年重庆高考试题)假设a,b,c>0,且a+2ab+2ac+4bc=12,那么a+b+c的最小值是( )

2

(A)23 (B)3 (C)2 (D)3

②(2020年南开大学保送生考试试题)正数a、b、c满足:a+ab+ac+bc=6+25,那么3a+b+2c的最小值是 .

2

2.①(2000年北京、安徽春招试题)设函数f(x)=|lgx|,假设0且f(a)>f(b),证明:ab<1.

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②(2002年上海交通大学保送生考试试题)函数f(x)=|lgx|,有0且f(a)=f(b)=2f((Ⅰ)求a、b满足的关系;

(Ⅱ)证明:存在这样的b,使3

ab

). 2

[例6]:①(2002年上海交通大学保送生考试试题)假设x=f(x),称x为f(x)的不动点,f(x)=2xa.

xb

(Ⅰ)假设f(x)有关于原点对称的两个不动点,求a、b满足的关系; (Ⅱ)画出这两个不动点的草图.

②(2002年上海春招试题)对于函数f(x),假设存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,那么称x0为f(x)的不动点,函数f(x)=ax+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

(Ⅰ)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(Ⅱ)假设对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,假设y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+对称,求b的最小值.

12a21

2

[解析]:



[练习6]:

1.(2003年同济大学保送生考试试题)方程f(x)=x的根是函数f(x)的不动点,令f(x)=

bxc

. xa

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